15.2 Indicadores da Qualidade
Como a competição entre as empresas está cada vez maior, existe uma forte pressão sobre os setores de desenvolvimento de produtos, produção e serviços de suporte para se tornarem cada vez mais produtivos e eficientes: o setor de desenvolvimento de produto tem que criar produtos inovadores em menor tempo e com grau de complexidade cada vez maior; a produção deve aumentar a qualidade dos produtos e paralelamente diminuir custos e aumentar o volume de produção; já, os setores de serviços devem reduzir o tempo de ciclo de seus processos e aumentar a satisfação dos clientes.
Dito isso, se torna de suma importância que as empresas analisem indicadores que forneçam interpretações úteis sobre a qualidade de seus produto e processos. Nesta seção, apresentaremos o uso da ferramenta Action Stat para calcular determinados indicadores.
2.1 - Rendimento
Com os princípios da teoria de contagem e probabilidade, vamos apresentar a primeira métrica para qualidade. Aqui, vamos analisar o rendimento de um produto através do número de defeitos associado aos seus componentes. Paralelamente, introduziremos as ideias fundamentais para a análise do redimendo de um processo, utilizando as informações provenientes das estapas que o compõem.
Definimos
- “Rendimento de um produto” como a probabilidade de não-ocorrência de defeito em um produto composto por um ou mais componentes;
- “Rendimento de processo” como a probabilidade de não-ocorrência de defeito em um produto que é produzido através de processo composto por uma ou mais etapas.
Dois outros indicadores, que se relcionam com o rendimento e que serão trabalhados dentro dessa seção, são definidos a seguir:
- “Defeitos por unidade (DPU)" é a taxa de ocorrência de falha dentro de uma unida de medida;
- “Partes por milhão (PPM)" é o número esperado de peças defeituosa dentro de um lote de tamanho um milhão.
Agora, considere um produto dividido em diversos componentes, ou ainda, um processo dividido em diversas etapas. A Figura 15.2.1, exemplifica a estratégia de inspeção utilizada dentro de cada componente/etapa para avaliação do rendimento clássico.
Figura 15.2.1: Gráfico do Redimendo Clássico
Note que, para cada componente/etapa, quando uma peça é considerada fora das especificações, a mesma é retrabalhada e pode ser utilizada novamente na operação. Isto significa que ao observarmos o número falhas em um componente/etapa mais de uma dessas falhas podem estar relacionada com a mesma peça. Por essa razão, utilizaremos os seguintes modelos de probabilidades:
Modelo para o rendimento de um produto
Considere um produto composto por $ n $ componentes e seja $ X_i $ a variável aleatória que representa o “número de falhas em uma unidade do i-ésimo componente”. Assumiremos que $ X_i $ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda_i $. Assim,
$$R_i=\hbox{Rendimento do i-ésimo componente}=P[\hbox{obter uma unidade do i-ésimo componente sem defeito}]=$$
$$~=P(X_i=0)=e^{-\lambda_i}~(1).$$
Neste caso, o parâmetro $ \lambda_i $ indica a taxa de falha por unidade de medida do i-ésimo componente. Como estamos analisando a probabilidade de obtermos produtos defeituosos em uma linha de produção, o EMV para a distribuição de poisson coincidirá com o indicador de Defeitos Por Unidades (DPU) do i-ésimo componente. Isto é
$$R_i=e^{-\hbox{DPU}_i}~(2)$$
Desde que cada componente falhe independentemente de qualquer outro (hipótese) e que o produto é não-defeituoso se todos seus componetes também não o forem. A probabilidade de fabricar um produto livre de deifeitos, isto é, o rendimento do produto, pode ser calculada utilizando a seguinte estratégia:
$$R=\hbox{Rendimento do produto}=P[X_1=0, X_2=0,\dots , X_n=0]\overset{\hbox{hip}}{=}P[X_1=0]\times P[X_2=0] \times \dots \times P[X_n=0]\overset{(1)}{=}$$
$$R_1 \times R_2 \times \dots \times R_n \overset{(2)}{=} e^{-\sum_{i=1}^{n} \hbox{DPU}_i} ~ (3)$$
ou seja, sobre a hipótese de independência, podemos calcular o rendimento do produto final através do produtório dos rendimentos de seus componentes.
Note também, que podemos calcular o indicador de Defeitos por Unidade (DPU) para o produto final utilizando a seguinte relação
$$R=e^{-DPU} \Longrightarrow DPU=-\ln(R)$$
em que $ R $ é dado pela equação (3).
Outra relação intereressante é entre o rendimento e PPM. Sabemos que
$$\hbox{PPM}=10^6 \times P(\hbox{Deifeito}) \overset{(4)}{=} 10^6 \times (1-R)$$
em que a igualdade (3) se deve ao fato da propriedade de probabilidade de eventos complementares.
Uma estratégia para auxiliar nos cálculos, é construir a seguinte tabela:
| Componentes | Unidades | Defeitos | DPU | Rendimento |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $ U_1 $ | $ D_1 $ | $ D_1/U_1 $ | $ R_1=e^{-DPU_1} $ |
| $$\vdots$$ | $$\vdots$$ | $$\vdots$$ | $$\vdots$$ | $$\vdots$$ |
| n | $ U_n $ | $ D_n $ | $ D_n/U_n $ | $ R_n=e^{-DPU_n} $ |
| Somas | Somas de Unidades | Somas de Defeitos | Soma de DPU | $ R=\prod_{i=1}^{n}R_i$ |
| Médias | Média da soma de unidades | Média de defeitos | Média de DPU | $ DPU=-ln(R) $ |
Tabela 15.2.1: Resumo dos dados.
Modelo para o rendimento de um processo
Agora, consideraremos um produto que é produzido via um processo composto por n etapas. Definimos $ X_i $ a variável aleatória que representa o “número de defeitos de um produto dentro da i-ésima etapa”. Novamente, assumimos que $ X_i \sim \hbox{Poisson} (\lambda_i) $. Assim
$$R_i=\hbox{Rendimento da i-ésima etapa}=P[\hbox{obter um produto sem defeito dentro da i-ésima etapa}]=$$
$$~=P(X_i=0)=e^{-\lambda_i}~(1).$$
Aqui, como no cálculo do rendimento de um produto, o EMV coincide com o indicador Defeitos Por Unidades (DPU), com isso
$$R_i=e^{-\hbox{DPU}_i}~(2)$$
em que $ \hbox{DPU}_i $ é o indicador de Defeitos por unidade da i-ésima etapa do processo.
Desde que cada produto falhe independentemente da etapa do processo de produção (hipótese) e que o produto é não-defeituoso se não falhar em nenhuma etapa, o rendimento do processo é dado por:
$$\hbox{Rendimento}=P[X_1 = 0, X_2=0, \dots, X_n=0]=P[X_1=0] \times P[X_2=0] \times \dots \times P[X_n=0]\overset{\hbox{hipe (1)}}{=} R_1 \times R_2 \times \dots \times R_n.$$
Portanto, o rendimento do processo será calculado através da multiplicação dos rendimentosde cada etapa, ou seja
$$R=\hbox{Rendimento do processo}\overset{2}{=}e^{\sum_{i}^{n} \hbox{DPU}_i}.$$
Pelas relações
$$DPU=\hbox{[Defeitos por unidade do processo]}=-\ln(R).$$
Aqui, novamente
$$\hbox{PPM}=10^6 \times P(\hbox{Deifeito}) = 10^6 \times (1-R)$$
Analogamente, podemos construir a seguinte tabela:
| Etapa | Unidades | Defeitos | DPU | Rendimento |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $ U_1 $ | $ D_1 $ | $ D_1/U_1 $ | $ R_1=e^{-DPU_1} $ |
| $$\vdots$$ | $$\vdots$$ | $$\vdots$$ | $$\vdots$$ | $$\vdots$$ |
| n | $ U_n $ | $ D_n $ | $ D_n/U_n $ | $ R_n=e^{-DPU_n} $ |
| Somas | Somas de Unidades | Somas de Defeitos | Soma de DPU | $ R=\prod_{i=1}^{n} R_i $ |
| Médias | Média da soma de unidades | Média de defeitos | Média de DPU | $ DPU=-ln(R) $ |
Tabela 15.2.2: Resumo dos dados.
Aplicação
Considere uma máquina colheitadeira de cana onde vamos verificar a cabine da máquina. Na Tabela estão relacionados os tipos de defeitos, unidades fabricadas e número de oportunidades por defeito. Vamos encontrar intervalos de confiança para o produto cabine e também para cada um de seus componentes.
| Componentes | Unid | Defeito | Oport |
|---|---|---|---|
| Tacômetro | 57 | 49 | 2 |
| Mangueira | 57 | 29 | 2 |
| Vedação | 57 | 18 | 6 |
| Ar Condicionado | 57 | 14 | 1 |
| Portas | 57 | 10 | 2 |
| Caixa de Controle | 57 | 6 | 1 |
| Sistema Elétrico no Painel | 57 | 5 | 1 |
| Cabo de Controle | 57 | 3 | 2 |
| Instrumento | 57 | 2 | 2 |
| Ventilação | 57 | 2 | 1 |
| Coluna | 57 | 1 | 1 |
Tabela 15.2.3: Colheitadeira de cana.
Estamos interessados em avaliar o rendimento da cabine. Vamos avaliar via o modelo proposto para produto que, neste caso, é composto por 11 componentes. Utilizaremos a função DPU (Defeitos por Unidade) da ferramenta Action Stat para auxiliar nos cálculos (para mais detalhes sobre esta função consulte o manual do usuário). Utilizando a função DPU do Action Stat, obtemos a seguinte saída:
| PPM Total | 912716.7316 |
| Rendimento Total | 0.0873 |
| Probabilidade de Defeito Total | 0.9127 |
| Métrica Sigma Total | 0 |
Tabela 15.2.4: Indicador de Qualidade - DPU
| DPU | Rendimento | Probabilidade de Defeito | Métrica Sigma | |
|---|---|---|---|---|
| Tacômetro | 0.8596 | 0.4233 | 0.5767 | 0 |
| Mangueiras | 0.5088 | 0.6012 | 0.3988 | 1.6936 |
| Vedação | 0.3158 | 0.7292 | 0.2708 | 2.1005 |
| Ar Condicionado | 0.2456 | 0.7822 | 0.2178 | 2.2798 |
| Portas | 0.1754 | 0.8391 | 0.1609 | 2.4969 |
| Caixa de Controle | 0.1053 | 0.9001 | 0.0999 | 2.7904 |
| Sistema Elétrico no Painel | 0.0877 | 0.916 | 0.084 | 2.8869 |
| Cabo de Controle | 0.0526 | 0.9487 | 0.0513 | 3.1392 |
| Instrumento | 0.0351 | 0.9655 | 0.0345 | 3.3235 |
| Ventilação | 0.0351 | 0.9655 | 0.0345 | 3.3235 |
| Coluna | 0.0175 | 0.9826 | 0.0174 | 3.6128 |
Tabela 15.2.5: Tabela DPU
Figura 15.2.2: Gráfico para DPU
Através da primeira tabela:
Observamos um “rendimento total” de aproximamente 0,087 para o produto cabine. Ele nos indica a necessidade de melhorias na produção. Esta indicação é reforçada pelo fato da “probabilidade de deifeito total” que está em torno de 0,9127, implicando em um PPM de aproximadamente 912.716, isto significa que ao montarmos 1.000.000 de cabines, esperamos que 912.716 destas sejam defeituosas. Através desses dados, observamos que o produto esta com baixíssima taxa de aproveitação e necessita de melhorias. O último indicador, denominado por “Métrica Sigma” será tratado no capítulo “Métrica da Qualidade: Sigma”.
Através da segunda tabela e gráfico:
A segunda tabela e o gráfico apresentam informações pertinentes aos componentes individualmente. Uma grande vantagem do Action Stat é que ele ordena o resultado partindo do componente com menor redimento, isto é, começando pelo componente mais “crítico”. Podemos observar, por exemplo, que o rendimendo do “Tacômetro” está próximo de 0,42, implicando que a probabilidade de produzir uma unidade desse componente sem defeitos é de aproximadamente 0,58%. Além disso, pela tabela e pelo gráfico, observamos que o DPU do mesmo é de aproximadamente 0,86, isto é, em média, a taxa de defeito de cada unidade produzida de 0,86, indicando que este compente causa muitas percas e retrabalho. Uma vez que a cabine depende deste, um primeiro passo para a melhoria do produto final seria diminuir a taxa de defeitos desse componente. Podemos avaliar as outras componentes de maneira similar.
2.2 - Defeitos por Milhão de Oportunidades (DPMO)
Ao analisar o número de peças com defeitos, fabricadas por uma linha de produção, algumas empresas avaliam apenas a taxa de defeituosos no final do processo. Por exemplo, se foram produzidos 200 unidades e 10 unidades falharam no final da montagem, a taxa de defeitos reportada é de 5%.
A taxa de defeito por unidade pode ser melhorada incluindo o número de oportunidades, para focar no processo e/ou produto. Um indicador adequado para a taxa de defeitos por unidade deve considerar o número de oportunidade para a falha nos cálculos. Para ilustrar, considere um processo onde os defeitos são classificados por tipo e o número de oportunidades para a falha (OP) são definidos para cada tipo. O número de defeitos (D) e unidades (U) são obtidos do processo durante algum período de tempo. O cálculo do indicador pode ser obtido na forma:
| Tipo de defeito | Descrição |
|---|---|
| Número de defeitos | $ D $ |
| Unidades | $ U $ |
| Oportunidades | $ OP $ |
| Total de Oportunidades | $ TOP=U\times OP $ |
| Defeitos por Unidade | $ DPU=D/U $ |
| Defeitos pelo Total de Oporunitades | $ DPO=D/TOP $ |
| Defeitos por Milhão de Oportunidades | $ DPMO=DPO \times 1.000.000 $ |
Tabela 15.2.6: DPMO
Nas aplicações temos até 20 tipos diferentes de defeitos, cujo cálculo do indicador DPMO deve ser obtido para cada tipo de defeito.
Então, tomamos a média do indicador DPO e DPMO para o processo e/ou produto e construímos um gráfico de Pareto para o DPMO dos defeitos.
Para uma aplicação na indústria eletrônica, considere o processo de solda de componentes em uma placa de circuito impresso. Neste caso, o número de oportunidades para a falha pode ser o número de componentes (de cada tipo) vezes o número de pontas de solda. A vantagem de utilizar o DPMO para esta situação é que diferentes componentes são montados na placa e cada um desses componentes contém um número diferente de pontos de solda. Assim, com o DPMO, podemos uniformizar o indicador sobre o processo.
Aplicação
Os defeitos encontrados na assistência técnica de um produto foram classificados em tipos 1, 2, 3, 4, 5, e 6. Durante um certo período de tempo foram coletados os dados referentes ao número de defeitos (D), unidades (U) e oportunidades por unidade. Os dados são apresentados na Tabela 15.2.8.
| Tipo | D | U | OP |
|---|---|---|---|
| A | 21 | 327 | 92 |
| B | 10 | 350 | 85 |
| C | 8 | 37 | 43 |
| D | 68 | 743 | 50 |
| E | 74 | 80 | 60 |
| F | 20 | 928 | 28 |
Tabela 15.2.8: Assistência técnica.
Utilizaremos a função DPMO (Defeito por Milhão de Oportunidades) da ferramenta Action Stat para auxiliar nos cálculos (para mais detalhes sobre esta função consulte o manual do usuário). Utilizando a função DPMO do Action Stat, obtemos a seguinte saída:
| DPO Total | 0.0016 |
| DPMO Total | 1553.8154 |
| Métrica Sigma Total | 4.4529 |
Tabela 15.2.9: Indicador de Qualidade - DPMO
| DPU | DPO | DPMO | Métrica Sigma | | A | 0.0642 | 0.0007 | 698.0455 | 4.6911 | | B | 0.0286 | 0.0003 | 336.1345 | 4.8964 | | C | 0.2162 | 0.005 | 5028.2841 | 4.0718 | | D | 0.0915 | 0.0018 | 1830.4172 | 4.4022 | | E | 0.925 | 0.0154 | 15416.6667 | 3.6606 | | F | 0.0216 | 0.0008 | 769.7044 | 4.6628 |
Tabela 15.2.10: DPMO
Figura 15.2.3: Gráfico para DPMO
2.3 - Métrica da qualidade: SIGMA
Aqui, vamos estudar a relação entre a métrica da qualidade SIGMA obtida via distribuição Normal e taxa de defeitos por um milhão de unidades produzidas. A distribuição é Normal quando sua densidade tem a forma de “sino”. A Figura 15.2.2 que representa áreas sob a curva Normal.
Figura 15.2.4: Áreas sob a curva Normal.
Esta figura ilustra o conceito básico das métricas de sistema da qualidade onde as peças são manufaturadas e a porcentagem (ou PPM) de peças fora de especificação é avaliada.
| Especificações | Porcentagem | PPM de defeitos |
|---|---|---|
| $ \pm1\sigma $ | 68,27 | 317300 |
| $ \pm2\sigma $ | 95,45 | 54500 |
| $ \pm3\sigma $ | 99,73 | 2700 |
| $ \pm4\sigma $ | 99,9937 | 63 |
| $ \pm5\sigma $ | 99,999943 | 0,57 |
| $ \pm6\sigma $ | 99,9999998 | 0,002 |
Tabela 15.2.6: Área sobre a curva normal e PPM.
Em geral, não conseguimos manter um processo totalmente centrado. Sempre temos uma pequena variação na média do processo devido a mudanças na matéria-prima, condições ambientais, manutenção de máquina e ferramentas, entre outras causas. Assim, a Motorola sugeriu (e tornou-se uma regra) uma variação natural de $ 1,5\sigma $ em torno da média do processo. Abaixo apresentamos um gráfico ilustrando a variação.
(imagem em falta)
Figura 2: Limites de Variação
| Especificações | Porcentagem | PPM de defeitos |
|---|---|---|
| $ \pm1\sigma $ | 30,23 | 697700 |
| $ \pm2\sigma $ | 69,13 | 308700 |
| $ \pm3\sigma $ | 93,32 | 66810 |
| $ \pm4\sigma $ | 99,379 | 6210 |
| $ \pm5\sigma $ | 99,9767 | 233 |
| $ \pm6\sigma $ | 99,99966 | 3,4 |
| $ \pm7\sigma $ | 99,999998 | 0,02 |
Tabela 15.2.6: Área sobre a curva normal e PPM, considerando a variação natural (1,5$ \sigma $).
Esta relação é determinada utilizando a variação de $ \pm1,5 \times\sigma $, sendo expressa de forma aproximada por [Schmidt e Launsby (1997)]:
$$\hbox{Número de SIGMA}~=~0,8406~+~\sqrt{29,37~-~2,221 \times \ln(PPM)}$$
Observação: Se usarmos oportunidade de defeito para calcular o indicador da qualidade, devemos substituir o PPM por DPMO.
Exemplo
Considere um processo com PPM igual a 20. Quantos SIGMA tem o processo?
$$\hbox{Número de SIGMA}=0,8406+\sqrt{29,37-2,221\times \ln(20)}=0,8406+4,7661=5,6.$$