3.2 Índices de Capacidade e Performance do Processo para Dados Normais

Inicialmente, vamos considerar o caso em que a distribuição normal se ajusta bem aos dados. Neste caso, a amplitude de 99,73% corresponde ao valor de 6σ (ou sua estimativa 6$\hat{\sigma}$), no qual $\sigma$ está associado a variabilidade de curto prazo para a capacidade e a variabilidade de longo prazo para a performance. A seguir, fazemos uma análise dos índices de capacidade e performance para a distribuição normal.

2.1 - Índices de capacidade do processo: $C_p$ e $C_{pk}$

Nesta seção, vamos apresentar o índice de capacidade do processo sob a hipótese de normalidade dos dados. Para um processo sob controle estatístico (estável), o índice de capacidade determina o que pode ser esperado para o processo em relação às especificações. Como apresentamos na seção introdutória, os índices de capacidade do processo podem ser estabelecidos somente para um processo estável ao longo do tempo (sob controle). O índice $C_p$ é definido, quando os dados seguem uma distribuição normal, por

$$C_p = \dfrac{\hbox{Variabilidade Permitida do Processo}}{\hbox{Variabilidade Inerente}}$$

ou seja,

$$C_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\sigma}$$

em que LSE é o Limite Superior de Especificação e LIE o Limite Inferior de Especificação.

Figura 3.2.1: Representação de $\mu$ centrado em distribuição normal

Um processo centrado, isto é, $μ = (1/2)(LIE + LSE)$ com uma distribuição (estável) normal e com um $C_p$ = 1 produzirá 0,27% dos itens fora de especificação. Também, para um processo centrado e estável com $C_p$ = 1, os limites de controle para o gráfico da média e de especificação estão relacionados da seguinte forma

$$LSC = \dfrac{LSE}{\sqrt{n}} ~~~~~ {e} ~~~~~ LIC = \dfrac{LIE}{\sqrt{n}},$$

em que n é o tamanho dos subgrupos racionais no gráfico de controle. Temos assim que, a menos da constante $\sqrt{n}$, os dois limites coincidem para processos com $C_p$ = 1. O índice $C_p$ é uma medida da capacidade do processo e pode ser estimado por

$$\widehat{C}_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}},$$

no qual $\widehat{\sigma}$ é uma estimativa da variabilidade de curto prazo do processo. A maioria das empresas adotam o valor $C_p = 1,67$ (ou $C_p = 1,33$) conforme recomendação de Juran e Gryna (1980). Um índice utilizado, equivalente ao $C_p$, é a “Razão de Capacidade” $R_c$ que é definida como o recíproco do $C_p$. Em porcentagem o $R_c$ é dado por:

• $R_c$ = $\char37$ da especificação usada;

• $R_c$ = $[6σ/(LSE - LIE)]×100 \char37$ ;

• $R_c$ = $(1/C_p)×100 \char37$;

Para $C_p = 1,33$ (dados normais, processo sob controle e centrado) temos um valor correspondente de $R_c = 75 \char37$. Da mesma forma, um $R_c=60 \char37$ está relacionado com um $C_p=1,67$. Quanto menor o $R_c$ de um processo melhor o seu comportamento.

Figura 3.2.2: Comportamento da distribuição com $C_p$ em diferentes valores

Para avaliar mais eficientemente a capacidade do processo foi introduzido no Japão o índice $C_{pk}$, que leva em conta não somente a variabilidade do processo como também sua localização com respeito aos limites de especificação. Antes de entrarmos na análise do índice $C_{pk}$ consideremos dois outros índices, que juntos com $C_p$ e $C_{pk}$ revelam diferentes aspectos do processo. Para a especificação superior definimos

$$C_{pS} = \dfrac{LSE - \mu}{3\sigma} = \dfrac{LSE - \mu}{\dfrac{\hbox{variabilidade inerente}}{2}}.$$

Analogamente, para a especificação inferior tomamos

$$C_{pI} = \dfrac{\mu - LIE}{3\sigma},$$

em que μ é a média do processo. A relação entre $C_p$ e a dupla ($C_{pI}$, $C_{pS}$) é dada por

$$C_p = \dfrac{C_{pI} + C_{pS}}{2}.$$

Desta forma, definimos o índice $C_{pk}$ por:

$C_{pk}$ = mínimo entre $C_{pI}$ e $C_{pS} = min \lbrace C_{pI}, C_{pS} \rbrace$

No caso de especificações bilaterais, o índice $C_{pk}$ permite a avaliação da capacidade do processo na “pior situação possível”. Neste sentido, a utilização do $C_{pk}$ determina a estratégia “mais conservadora”. Assim, um processo com $C_{pk}$ alto oferece garantias de um comportamento satisfatório, enquanto a estabilidade seja mantida. A relação entre $C_p$ e $C_{pk}$ é definida por

$$C_{pk} = C_p(1-k),$$

em que k é o fator que representa o quanto o processo está centrado

$$k = \dfrac{\mid m - \mu \mid}{(LSE - LIE)/2},$$

sendo $m = (LSE - LIE)/2$ o ponto central da especificação. Apresentamos os índices de capacidade na Figura 3.2.3.

Figura 3.2.3: Índices de capacidade do processo.

Estimativa do desvio padrão

A seguir vamos apresentar diversos métodos para estimar o desvio padrão de curto prazo, que é utilizado para cálcular o índice de Capacidade do Processo.

Variabilidade a curto prazo

Método 1

Tradicionalmente, ao estimar a variabilidade em um gráfico $\overline{X}$ e R temos

$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{R}}{d_2},$$

em que $\overline{R}$ é a média das amplitudes dos subgrupos e a constante $d_2$ é tabelada no Apêndice.

A seguir são analisadas algumas situações práticas:

• Observação 1: Quando os dados são retirados de forma sequencial (ao longo do tempo) e avaliados a estabilidade via um gráfico $\overline{X}$ e R, a estimativa tradicional ($\overline{R}/d_2$) não é influenciada pela variabilidade ocorrida entre os subgrupos. Por isso, admitimos que o processo está sob controle.

• Observação 2: Quando retiramos uma amostra de uma população (que não realizado ao longo do tempo), o desvio padrão amostral ($s$) é a única forma de estimarmos a variabilidade. Além disso, o índice de capacidade não é aplicável.

Método 2

Outra maneira de estimar a variabilidade de curto prazo é definida por

$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{s}}{c_4}, \quad {ou} \quad \overline{s}$$

em que $\overline{s}$ é a média dos desvios padrão amostral dos subgrupos e $c_4$ uma constante tabelada no Apêndice. Esta estratégia é aplicada quando retiramos amostras sequenciais (ao longo do tempo) e avaliamos a estabilidade via o gráfico de médias e desvio padrão. A constante de correção de vício $(c_4)$ pode ser aplicada para corrigir o desvio padrão. Abaixo apresentamos a fórmula da constante $c_4$ e na seção “Propriedade dos Estimadores” esta fórmula é deduzida.

Método 3: Desvio padrão agrupado

Outro método utilizado para estimarmos a variabilidade a curto prazo. É usado quando as amostras têm subgrupos de tamanhos variáveis, sendo definido por

$$\widehat{\sigma} = s_p$$

em que sp representa o desvio padrão agrupado (Spooled) e é dado por

$$s_p = \sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\overline{x}_i)^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^{m}(n_i-1)}}$$

sendo

$$\overline{x}_i = \sum_{j=1}^{n_i}\dfrac{x_{ij}}{n_i}$$

Podemos também utilizar um fator de correção c4(d) com o objetivo de reduzir o vício da estimativa, com isso temos

$$\widehat{\sigma} = \dfrac{s_p}{c_{4}(d)}$$

em que

$$d = \left(\sum_{i=1}^{m}n_i \right) - m + 1$$

Os valores de c4(d) podem ser determinados através da relação

$$c_4(d) = \sqrt{\dfrac{2}{d-1}}\left(\dfrac{\Gamma(d/2)}{\Gamma((d-1)/2)} \right)$$

sendo $\Gamma(\cdot)$ a função gama.

A seguir apresentamos um exemplo envolvendo os conceitos discutidos.

Exemplo 2.1.1

Consideremos um processo sob controle cujos dados seguem distribuição normal. Para este processo temos as seguintes especificações:

Vamos supor que a média amostral do processo seja dada por $\overline{x}$ = 10,662 e $\overline{R}$ = 0,2, para um amostra com 3 elementos em cada subgrupo.

Vamos calcular a capacidade do processo como discutido acima. Primeiramente calcula-se o desvio padrão

$$\widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{R}}{d_2} = \dfrac{0,2}{1,693} = 0,118$$

em que $d_2 = 1,693$ (para $n = 3$) tabelado no Apêndice.

A pior situação (aquela em que o processo gera a maior porcentagem de defeitos) é avaliada pelo $C_{pk}$, ou seja,

$$C_{pS} = \dfrac{LSE - \mu}{3\widehat{\sigma}} = \dfrac{10,9 - 10,662}{3 \ast 0,118} = 0,67$$

$$C_{pI} = \dfrac{\mu - LIE}{3\widehat{\sigma}} = \dfrac{10,662 - 10,5}{3 \ast 0,118} = 0,46$$

Assim,

$$C_{pk} = \min\lbrace C_{pI}, C_{pS} \rbrace = \min\lbrace0,46; ~0,67\rbrace = 0,46.$$

Tratamento de tolerâncias unilaterais

Em alguns casos, temos apenas limites superiores ou inferiores de engenharia. Assim, não temos como calcular o índice $C_p$. Nestes casos, o manual de CEP (2ª Edição) propõe a seguinte estratégia:

• Apenas limite Superior

  • $C_{pk}$ = $C_{pS}$;

  • $C_p$ não se aplica;

  • $C_{pI}$ não se aplica.

• Apenas limite Inferior

  • $C_{pk} = C_{pI}$;

  • $C_p$ não se aplica;

  • $C_{pS}$ não se aplica.

Exemplo 2.1.2

Considere um processo por batelada no qual reaizamos três medidas por lote, início, meio e fim de cada lote. As especificações são dadas por $LSE=12$ e $LIE=9$. Vamos avaliar a capacidade e performance do processo.

Lote		Medições
1	10,69	10,80	10,39
2	10,20	10,30	10,72
3	10,42	10,61	10,54
4	10,98	10,27	10,50
5	10,61	10,52	10,67
6	10,57	10,46	10,50
7	10,44	10,29	9,86
8	10,20	10,29	10,41
9	10,46	10,76	10,74
10	10,11	10,33	10,98
11	10,29	10,57	10,65
12	10,83	11,00	10,65
13	10,35	10,07	10,48
14	10,69	10,54	10,61
15	10,44	10,44	10,57
16	10,63	9,86	10,54
17	10,54	10,82	10,48
18	10,50	10,61	10,54
19	10,29	10,79	10,74
20	10,57	10,44	10,52

Tabela 3.2.1: As medidas por lote (início, meio e fim)

Primeiramente vamos fazer uma análise de estabilidade do processo através de um gráfico de controle:

Figura 3.2.4: Análise de Performance do Processo

Figura 3.2.5: Gráfico X-Barra

Figura 3.2.5: Gráfico da Amplitude

O gráfico X-Barra com todos os valores dentro dos 3 desvios padrão do limite central, indica que o processo é estável. O gráfico de amplitude indica que todos os valores estão dentro do limite de controle.

Em seguida, iremos verificar se os dados tem distribuição normal:

Normal(mu = 10.51, sigma = 0.24)	Estatística	P-Valor
Anderson-Darling	0.4777	0.2284
Cramer-von-Misés	0.0747	0.2382
Kolmogorov-Smirnov	0.0977	0.1651

Tabela 3.2.2: Teste de Normalidade

Como todos os p-valores associados aos testes são maiores do que 0,05, não rejeitamos a hipótese de que os dados tem distribuição aproximadamente normal.

Com isso, podemos fazer uma análise da capacidade do processo. Para este processo temos as seguintes especificações:

$LIE = 9$ e $LSE = 12$

Calculamos então a média amostral do processo: $\overline{x}$ = 10,51 e a média das amplitudes dos subgrupos $\overline{R}$ = 0,365, para uma amostra com 3 elementos cada subgrupo.

Para calcular a capacidade do processo conforme discutido acima, primeiramente calcula-se o desvio padrão:

$$ \widehat{\sigma} = \dfrac{\overline{R}}{d_2} = \dfrac{0,365}{1,693} = 0,2156 $$

Para calcular $C_p$ e $C_{pk}$ primeiramente obtemos os índices laterais

$$C_{pS} = \dfrac{LSE - \mu}{3\widehat{\sigma}} = \dfrac{12 - 10,51}{3 \ast 0,215} = 2,301$$

$$C_{pI} = \dfrac{\mu - LIE}{3\widehat{\sigma}} = \dfrac{10,51 - 9}{3 \ast 0,215} = 2,335$$

A pior situação (aquela em que o processo gera a maior porcentagem de defeitos) é avaliada pelo C_{pk}, ou seja,

$$C_{pk} = \min \lbrace C_{pI}, C_{pS} \rbrace = \min \lbrace 2,335;2,301 \rbrace = 2,301 $$

Também obtemos o $C_p$

$$C_p = \dfrac{C_{pI} + C_{pS}}{2} =\dfrac{2,301+2,335}{2}=2,319$$

2.2 - Índices de performance do processo: $P_p$ e $P_{pk}$

Em situações onde somente é possível quantificar, além de causas comuns, as causas especiais de variação, usaremos os índices propostos por Herman (1989). Esses índices são conhecidos como índices de Performance do processo. Se o processo está estável, os índices de capacidade estarão muito próximos dos índices de performance. Porém, uma diferença grande entre capacidade e performance indica a existência de instabilidade no processo, ou seja, causas especiais estão agindo.

O cálculo dos índices $P_{p}$ e $P_{pk}$ são similares aos índices $C_{p}$ e $C_{pk}$. Desta forma, temos

$$P_p = \dfrac{\hbox{Variabilidade Permitida do Processo}}{\hbox{Variabilidade Total}}$$

ou seja,

$$P_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\sigma}$$

Logo, o índice $P_{p}$ pode ser estimado por

$$\widehat{P}_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\widehat{\sigma}}$$

Para a especificação unilateral superior temos

$$PPS = \dfrac{LSE - \mu }{3\sigma} = \dfrac{LSE - \mu}{\frac{\hbox{Variabilidade Total}}{2}}$$

e para a especificação unilateral inferior

$$PPI = \dfrac{\mu - LIE}{3\sigma}$$

onde μ é a média do processo.

A relação entre $P_{p}$ e a dupla (PPI, PPS) é dada por

$$P_p = \dfrac{PPI + PPS}{2}$$

Uma generalização para o caso de especificações bilaterais é o índice

$$P_{pk} = \hbox{mínimo entre PPI e PPS}$$

$$P_{pk} = \min\lbrace PPI, PPS \rbrace$$

Observemos os índices de performance na Figura 3.2.7.

Figura 3.2.7: Índices de performance do processo.

Estimativa do desvio padrão

A seguir vamos apresentar diversos métodos para estimar o desvio padrão, que é parte fundamental da Performance do Processo.

Variabilidade a longo prazo

A melhor forma de estimarmos esta variabilidade é através do desvio padrão amostral

$$\widehat{\sigma} = s = \sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}}$$

em que $x_i$ representa as medidas do processo, $\overline{x}$ corresponde a média amostral de todas as medidas do processo e n ao número de medidas obtidas do processo.

Para ajustarmos o desvio padrão em relação ao vício tomamos

$$\widehat{\sigma}_{\hbox{ajust}} = \dfrac{s}{c_{4}(n)} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}}}{c_{4}(n)}$$

em que o valor de $c_{4}$ é tabelado no Apêndice.

A seguir são analisadas algumas situações práticas:

• Situação 1: Quando os dados são obtidos via um gráfico $\overline{X}$ e R a estimativa tradicional ($\overline{R}/d_2$) só é válida se o processo estiver sob controle.

• Situação 2: Quando retiramos uma amostra de uma população o desvio padrão amostral (s) é a única forma de estimarmos a variabilidade a longo prazo.

A seguir apresentamos um exemplo envolvendo os conceitos discutidos.

Exemplo 2.2.1

Vamos calcular a performance do processo para o Exemplo 2.1.1, considere neste caso um desvio padrão amostral s = 0,14.

As especificações são: LSE = 10,9 , VN = 10,7 , LIE = 10,5 , $\overline{x}$ = μ = 10,662 e $\widehat{\sigma} = s = 0,14$.

Para as especificações unilaterais superior e inferior temos

$$PPI = \dfrac{\overline{x} - LIE}{3s} = \dfrac{10,662 - 10,5}{3 \ast 0,14} = \dfrac{0,162}{0,42} = 0,386$$

$$PPS = \dfrac{LSE - \overline{x}}{3s} = \dfrac{10,9 - 10,662}{3 \ast 0,14} = \dfrac{0,238}{0,42} = 0,567$$

Assim,

$$P_p = \dfrac{PPI + PPS}{2} = \dfrac{0,386 + 0,567}{2} = 0,4765$$

A pior situação (aquela em que o processo gera a maior porcentagem de defeitos) é avaliada pelo $P_{pk}$. Portanto,

$$P_{pk} = \min\lbrace PPI, PPS \rbrace = \min \lbrace 0,386; ~0,567 \rbrace = 0,386.$$

Tratamento de tolerâncias unilaterais

Em alguns casos, temos apenas limites superiores ou inferiores de engenharia. Assim, não temos como calcular o índice $P_{p}$. Nestes casos, o manual de CEP (2ª Edição) propõe a seguinte estratégia:

• Apenas limite superior

  • $P_{pk}$ = $PPS$;

  • $P_{p}$ não se aplica;

  • $PPI$ não se aplica.

• Apenas limite inferior

  • $P_{pk}$ = $PPI$;

  • $P_{p}$ não se aplica;

  • $PPS$ não se aplica.

Exemplo 2.2.2

Para ilustrar os cálculos dos índices de performance do processo iremos utilizar o mesmo conjunto de dados do exemplo 2.1.2 da seção anterior, em que já foram atestadas as suposições necessárias para os cálculos a seguir.

As especificações são: $LSE = 12$ , $LIE = 9$ , $\overline{x} = μ = 10,51$ e $\widehat{\sigma} = s = 0,23$.

Para as especificações unilaterais superior e inferior temos

$$PPI = \dfrac{\overline{x} - LIE}{3s} = \dfrac{10,51- 9}{3 \ast 0,23} = 2,142$$

$$PPS = \dfrac{LSE - \overline{x}}{3s} = \dfrac{12 - 10,51}{3 \ast 0,23} = 2,11$$

Assim,

$$P_p = \dfrac{PPI + PPS}{2} = \dfrac{2,142;+ 2,11}{2} = 2,126$$

A pior situação (aquela em que o processo gera a maior porcentagem de defeitos) é avaliada pelo $P_{pk}$. Portanto,

$$P_{pk} = \min \lbrace PPI, PPS \rbrace = \min \lbrace 2,142; ~2,11 \rbrace = 2,11.$$

2.3 - Confusão com os índices $C_p$ e $P_p$ e $C_{pk}$ e $P_{pk}$

Algumas empresas, principalmente aquelas que não estão sujeitas à ISO - TS - 16949, não utilizam os índices $C_{p}$, $C_{pk}$, $P_{p}$ e $P_{pk}$, da forma como foram apresentados até aqui. Utilizam apenas os índices $C_{p}$ e $C_{pk}$ calculados como se fossem $P_{p}$ e $P_{pk}$, respectivamente. Ou seja,

$$C_p = \dfrac{\hbox{Variabilidade Permitida do Processo}}{\hbox{Variabilidade Total}}$$

ou seja,

$$C_p = \dfrac{LSE - LIE}{6\sigma}$$

Onde σ deve ser estimado por

$$\widehat{\sigma} = s = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}}$$

(imagem em falta)

Para a especificação unilateral superior temos

$$C_{pS} = \dfrac{LSE - \mu}{3\sigma} = \dfrac{LSE - \mu}{\dfrac{\hbox{Variabilidade Total}}{2}}$$

e para especificação unilateral inferior

$$C_{pS} = \dfrac{\mu - LIE}{3\sigma} = \dfrac{\mu - LIE}{\dfrac{\hbox{Variabilidade Total}}{2}}$$

onde ${\mu}$ é a média do processo e ${\sigma}$ deve ser estimado por $\widehat{\sigma}$.

Assim, temos que

$$C_{pk} = \min\lbrace C_{pI}, C_{pS} \rbrace$$

(imagem em falta)

Quando o processo está “sob controle estatístico”, a variação entre as amostras não é significativa e a variação total, medida por s, é bem próxima à variação dentro. Assim, $C_{p}$ e $C_{pk}$ definidos acima, são praticamente iguais ao que calculávamos utilizando só variação dentro.

Quando o processo está “fora de controle estatístico” os valores de $C_{p}$ e $C_{pk}$ definidos acima, são notavelmente distintos dos valores $P_{p}$ e $P_{pk}$ tais como foram apresentados em seções anteriores.

2.4 - Diferença entre Capacidade e Performance do processo

Os índices de capacidade e performance do processo são utilizados para avaliar o processo com relação as especificações. O índice de capacidade considera apenas a variação inerente do processo, também denominada de variação de “curto prazo” (Breyfogle (2003)). A variação inerente ao processo utiliza as parcelas de variação devido às causas comum e por esta razão só pode ser avaliada para um processo estável. Assim, o índice de capacidade descreve o melhor que o processo pode fazer, não abordando diretamente como o processo está trabalhando com relação às expectativas dos clientes. Vale ressaltar que os índices de capacidade são calculados somente para dados (ou dados transformados) com distribuição aproximadamente normal.

Por outro lado, o índice de performance considera a variação total do processo, também denominada de variação de “longo prazo” (Breyfogle (2003)). Este índice avalia o comportamento do processo em relação às necessidades dos clientes, pois utiliza a variabilidade total do processo, que engloba as causas comuns e especiais de variação. Caso o processo esteja estável, somente causas comuns de variação estão presentes, os índices de capacidade e performance são similares. A diferença de conceito entre índices de capacidade e performance também pode ser encontrado na ISO 22514.

Com a finalidade de ilustrar a diferença entre variação de curto prazo e variação de longo prazo, a Figura 1 é apresentada.

(imagem em falta)

Na figura 1, a variação inerente ao processo corresponde à variação dentro das elipses vermelhas, ou seja, a variação dentro de cada subgrupo. Então, apesar de existir um deslocamento na característica do processo para cada subgrupo, que pode ser proveniente de causas especiais de variação atuando sobre o processo, a variabilidade a curto de curto prazo não considera este deslocamento. No caso da variação de longo prazo, tem-se a variação de todas as observações, que corresponde a faixa preta. Então, a variação de longo prazo considera o deslocamento de cada subgrupo, ou seja, a variação de longo prazo não negligência causas especiais atuando sobre o processo. Para a Figura 1, a variabilidade de curto prazo é menor do que a variabilidade de longo prazo. Na Figura 2, é ilustrado um cenário no qual a variabilidade de curto prazo é igual à variabilidade de longo prazo.

(imagem em falta)

Na figura 2, novamente a variação inerente ao processo (variação de curto prazo) corresponde à variação dentro das elipses vermelhas e a variação de longo prazo corresponde a variação que ocorre na faixa preta. Neste caso, diferente da Figura 1, a variação de curto prazo é igual à variação de longo prazo. Note também que a característica do processo está centrada e que a variação em cada tempo é semelhante, que nos leva a concluir que temos um processo estável (sob controle).

A seguir, apresentamos um exemplo para ilustrar a diferença entre os índices de capacidade e performance do processo.

Exemplo 2.4.1:

Considere o seguinte exemplo, no qual tem-se um subgrupo racional de tamanho 1. Neste exemplo, o limite superior de especificação (LSE) é dado por 98,25 e o limite inferior de especificação (LIE) é dado por 98,15.

	Observações
98,212	98,198	98,190
98,230	98,187	98,181
98,218	98,199	98,179
98,215	98,192	98,187
98,216	98,207	98,192
98,220	98,210	98,208
98,219	98,209	98,195
98,216	98,193	98,196
98,207	98,204	98,176
98,208	98,202	98,186
98,216	98,222	98,194
98,215	98,214	98,165
98,192	98,204	98,158
98,193	98,166	98,186
98,171	98,168	98,198
98,186	98,169	98,205
98,187	98,175	98,215
98,197	98,175	98,243
98,191	98,191	98,241

Para o gráfico de valores individuais é imprescindível avaliar a normalidade dos resultados. Assim, o primeiro passo na análise é testar a hipótese de normalidade.

Testes	Estatísticas	P-valores
Anderson - Darling	0,2681	0,6717
Kolmogorov - Smirnov	0,0655	0,7857
Shapiro - Wilk	0,9855	0,7246
Ryan - Joiner	0,9935	0,7256

Por meio dos testes de normalidade apresentados na tabela acima, ao nível de significância de 5%, não é rejeitada a hipótese de normalidade dos dados. Assim, pode-se prosseguir com a análise da carta de controle.

(imagem em falta)

Com a carta de controle, pode-se verificar que existe causa especial atuando sobre o processo e neste caso, tem-se um processo instável. Prosseguindo com o exemplo, são calculados os índices de capacidade e performance do processo.

$\overline{x}$ = 98,1980; LSE = 98,25; LIE = 98,15; $\widehat{\sigma}$ = 0,0085.

Com os valores acima, calculam-se os índices de capacidade

Note que os índices de capacidades do processo estão acima dos critérios habituais de 1,33 e 1,67, o que se induz a concluir que o processo é capaz de atender as expectativas do cliente. Para os índices de performance têm-se:

Observe que o índice de performance do processo está coerente com os dados, pois conforme o histograma, o processo abrange toda a faixa de especificação. Para um processo centrado com $C_{pk}$ próximo de 2, o processo deveria ocupar apenas metade da faixa de especificação. Isto é consequência do fato de que o processo apresenta causas especiais de variação e a variabilidade de curto prazo, utilizada para calcular o índice de capacidade, considera-se apenas a variabilidade devido às causas comuns.

Como consequência, na presença de causas especiais, os índices de capacidade não representam o comportamento do processo em relação às especificações dos clientes. Por outro lado, mesmo na presença de causas especiais de variação, os índices de performance representam adequadamente o comportamento do processo, pois utilizam a variabilidade total do processo. Caso o processo seja estável, isento de causas especiais de variação, sabe-se que ambos os índices são equivalentes. Com base nestas considerações, consideramos os índices de performance (Pp e o Ppk) como os índices apropriados para descrever o comportamento do processo em relação às especificações.

(imagem em falta)