3.5 Análise de Performance para Atributos
A capacidade para dados atributivos é simplesmente definida como a proporção média ou a taxa de não conformidade do produto (AIAG, 1995) visto que, os gráficos de variáveis referem-se a variação ($6\widehat{\sigma}_{R/d_2}$) inerente produzida pelo processo estável.
5.1 - Análise de performance para dados binomiais
Dados com distribuição binomial estão associados com o número registrado de itens defeituosos em relação ao total de itens presentes na amostra.
-
O resultado de cada item avaliado deve ser obtido nas mesmas condições de avaliação dos demais itens.
-
Os resultados dos itens são independentes.
-
O resultado da avaliação de cada item é classificado em sucesso ou fracasso.
A proporção média é dada por
$$\overline{p} = \dfrac{D_{Tot}}{N_{Tot}}$$
em que
$D_{Tot}$ = Soma das quantidades de itens defeituosos em cada amostra.
$N_{Tot}$ = Quantidade de itens avaliados.
A porcentagem (%) de defeituosos é dada por
Intervalo de confiança para porcentagem de defeituosos
Os limites inferior e superior (LI e LS) são dados por
$$LI = \dfrac{\nu_{1} \ast F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1},~\nu_{2}\right)}}{\nu_2 +\nu_1 \ast F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1},~\nu_{2}\right)}}$$
$$LS = \dfrac{\nu_{3} \ast F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_{3},~\nu_{4}\right)}}{\nu_4 +\nu_3 \ast F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_{3},~\nu_{4}\right)}}$$
em que
-
$\nu_1 = 2 \ast D_{Tot}$
-
$\nu_2 = 2 \ast (N_{Tot} - D_{Tot} + 1)$
-
$\nu_3 = 2 \ast (D_{Tot} + 1)$
-
$\nu_4 = 2 \ast (N_{Tot} - D_{Tot})$
-
$F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_1,~\nu_2\right)}$ = quantil da distribuição F com $\nu_1$ e $\nu_2$ graus de liberdade e que deixa uma área de $\alpha/2$ à esquerda.
-
$F_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_3,~\nu_4\right)}$ = quantil da distribuição F com $\nu_3$ e $\nu_4$ graus de liberdade e que deixa uma área de $1 - \alpha/2$ à esquerda.
Intervalo de confiança para PPM
PPM: É o número esperado de peças defeituosas em um milhão de peças produzidas.
$${Limite~inferior} = 1.000.000 \ast (LI)$$
$${Limite~superior} = 1.000.000 \ast (LS)$$
Índice de capacidade (Z)
Quanto maior o valor do índice de capacidade (Z) melhor é a performance do processo.
$${Processo~Z} = -1 \ast \phi^{-1}(\overline{p})$$
em que
$\phi^{-1}(\overline{p})$: quantil da distribuição normal padrão (0,1) com área acumulada igual a $\overline{p}$. Essa função pode ser calculada diretamente pelo Software Action.
Intervalo de confiança para o índice de capacidade (Z)
$${Limite~inferior} = -1 \ast \phi^{-1}(LI)$$
$${Limite~superior} = -1 \ast \phi^{-1}(LS)$$
Exemplo 5.1.1
Uma indústria está interessada em analisar a capacidade do processo no qual verifica-se a proporção de peças defeituosas em lotes de 1000 peças. Os dados estão na Tabela 5.1.1.
| Amostra | Peças defeituosas | Total de peças na amostra |
|---|---|---|
| 1 | 432 | 1000 |
| 2 | 392 | 1000 |
| 3 | 497 | 1000 |
| 4 | 459 | 1000 |
| 5 | 433 | 1000 |
| 6 | 424 | 1000 |
| 7 | 470 | 1000 |
| 8 | 455 | 1000 |
| 9 | 427 | 1000 |
| 10 | 424 | 1000 |
| 11 | 410 | 1000 |
| 12 | 386 | 1000 |
| 13 | 496 | 1000 |
| 14 | 424 | 1000 |
| 15 | 425 | 1000 |
| 16 | 428 | 1000 |
| 17 | 392 | 1000 |
| 18 | 460 | 1000 |
| 19 | 425 | 1000 |
| 20 | 405 | 1000 |
| TOTAL | 8664 | 20000 |
Tabela 5.1.1: Dados de lotes de peças.
$$\overline{p} = \dfrac{D_{Tot}}{N_{Tot}} = \dfrac{8664}{20000} = 0,4332$$
% Peças defeituosas = 43,32.
Intervalo de confiança para % peças defeituosas
Calculando os valores de $\nu$ e F temos
$$\nu_1 = 2 \ast D_{Tot} = 2 \ast (8664) = 17328$$
$$\nu_2 = 2 \ast (N_{Tot} - D_{Tot} + 1) = 2 \ast (20000 - 8664 + 1) = 22674$$
$$\nu_3 = 2 \ast (D_{Tot} + 1) = 2 \ast (8664 + 1) = 17330$$
$$\nu_4 = 2 \ast (N_{Tot} - D_{Tot}) = 2 \ast (20000 - 8664) = 22672$$
$$F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_1,~\nu_2\right)} = 0,9723927$$
$$F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_3,~\nu_4\right)} = 1,028336$$
Com isso, os limites são dados por
$${Limite inferior}~(LI) = \dfrac{\nu_{1} \ast F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1},~\nu_{2}\right)}}{\nu_2 + \nu_1 \ast F_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1},~\nu_{2}\right)}}$$
isto é,
$$LI = \dfrac{17328 \ast 0,972}{22674 + (17328 \ast 0,972)} = \dfrac{16842,82}{22674 + 16842,82} = 0,426219$$
% LI para peças defeituosas = LI ∗ 100 = 0,426219 ∗ 100 = 42,6219
Já para o limite superior temos
$${Limite superior}~(LS) = \dfrac{\nu_{3} \ast F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_{3},~\nu_{4}\right)}}{\nu_4 +\nu_3 \ast F_{\left(1-\frac{\alpha}{2},~\nu_{3},~\nu_{4}\right)}}$$
$$LS = \dfrac{17330 \ast 1,028336}{22672 + (17330 \ast 1,028336)} = \dfrac{17821,06}{22672 + 17821,06} = 0,440102$$
% LS para peças defeituosas = LS ∗ 100 = 0,440102 ∗ 100 = 44,0102
Intervalo de confiança para PPM
$$PPM = \overline{p} \ast 1.000.000 = 0,4332 \ast 1.000.000 = 433200$$
$${Limite~inferior} = 1.000.000 \ast LI = 1.000.000 \ast 0,426219 = 426219$$
$${Limite~superior} = 1.000.000 \ast LS = 1.000.000 \ast 0,440102 = 440102$$
Índice de capacidade (Z)
$${Processo~Z} = -1 \ast \phi^{-1}(\overline{p}) = -1 \ast \phi^{-1}(0,4332) = 0,168233$$
sendo
$$\phi^{-1}(\overline{p}) = -0,168233$$
Intervalo de confiança para índice de capacidade (Z)
$${Limite~superior} = -1 \ast \phi^{-1}(0,440102) = 0,1507114$$
$${Limite~inferior} = -1 \ast \phi^{-1}(0,426219) = 0,1857569$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.
Figura 5.1.1: Gráficos da análise de performance do processo.
5.2 - Análise de performance para dados Poisson
Dados com distribuição Poisson estão associados com o número de não-conformidades observados num certo item (amostra) ao longo do espaço/tempo.
-
A taxa de não-conformidades por unidade (tempo, medida, etc.) é a mesma para qualquer item.
-
O número de não-conformidades observados em um item é independente de qualquer outro.
A média de não-conformidades por item é dado pela fração
$$\overline{Def} = \dfrac{D_{Tot}}{N}$$
em que
$D_{Tot}$ = Soma de todas as não-conformidades
N = Quantidade de amostras.
Intervalo de confiança para $\overline{Def}$ com 95% de confiança
Os limites são dados por
$${Limite~inferior}~(LI) = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1}\right)}$$
$${Limite~superior}~(LS) = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_{2}\right)}$$
em que
-
$\nu_{1} = 2 \ast D_{Tot}$
-
$\nu_{2} = 2 \ast (D_{Tot} + 1)$
-
$\chi^2_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1}\right)}$ = quantil da distribuição qui-quadrado com $\nu_{1}$ graus de liberdade e que deixa uma área de $\alpha/2$ á esquerda.
-
$\chi^2_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_{2}\right)}$ = quantil da distribuição qui-quadrado com $\nu_{2}$ graus de liberdade e que deixa uma área de $1 - \alpha/2$ à esquerda.
A média de não-conformidades por unidade de medida dentre todas as amostras é dada por
$$\overline{DPU} = \dfrac{D_{Tot}}{N_{Tot}}$$
em que
$D_{Tot}$ = Soma de todas as não-conformidades
$N_{Tot}$ = Soma de todos os tamanhos de amostra.
Intervalo de confiança para $\overline{DPU}$ com 95% de confiança
Os limites são dados por
$${Limite~inferior}~(LI) = 0,5 \ast \dfrac{1}{N} \ast \chi^2_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1}\right)}$$
$${Limite~superior}~(LS) = 0,5 \ast \dfrac{1}{N} \ast \chi^2_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_{2}\right)}$$
em que
-
$\nu_{1} = 2 \ast D_{Tot}$
-
$\nu_{2} = 2 \ast (D_{Tot} + 1)$
-
$\chi^2_{\left(\frac{\alpha}{2},~\nu_{1}\right)}$ = quantil da distribuição qui-quadrado com $\nu_{1}$ graus de liberdade e que deixa uma área de $\alpha/2$ à esquerda.
-
$\chi^2_{\left(1 - \frac{\alpha}{2},~\nu_{2}\right)}$ = quantil da distribuição qui-quadrado com $\nu_{2}$ graus de liberdade e que deixa uma área de $1 - \alpha/2$ à esquerda.
Ainda,
$\min{DPU}$: é o menor valor de DPU entre todas as amostras.
$\max{DPU}$: é o maior valor de DPU entre todas as amostras.
Exemplo 5.2.1
Uma indústria está interessada em analisar a capacidade do processo no qual verifica-se o número de pontos não-conformes numa lâmina de aço, sendo que cada lâmina mede 50 $cm^2$. Os dados estão dispostos na Tabela 5.2.1.
| Amostra | Nº de Não-conformidade | Tamanho da Amostra ($cm^2$) |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 50 |
| 2 | 4 | 50 |
| 3 | 3 | 50 |
| 4 | 1 | 50 |
| 5 | 2 | 50 |
| 6 | 5 | 50 |
| 7 | 2 | 50 |
| 8 | 5 | 50 |
| 9 | 4 | 50 |
| 10 | 1 | 50 |
| 11 | 6 | 50 |
| 12 | 3 | 50 |
| 13 | 3 | 50 |
| 14 | 6 | 50 |
| 15 | 1 | 50 |
| 16 | 4 | 50 |
| 17 | 1 | 50 |
| 18 | 8 | 50 |
| 19 | 1 | 50 |
| 20 | 4 | 50 |
| 21 | 4 | 50 |
| 22 | 2 | 50 |
| 23 | 4 | 50 |
| 24 | 2 | 50 |
| 25 | 1 | 50 |
| 26 | 2 | 50 |
| 27 | 2 | 50 |
| 28 | 3 | 50 |
| 29 | 4 | 50 |
| 30 | 4 | 50 |
| Total | 94 | 1500 |
Tabela 5.2.1: Defeituosos em uma lâmina de aço.
$$\overline{Def} = \dfrac{D_{Tot}}{N} = \dfrac{94}{30} = 3,13333$$
Intervalo de confiança para $\overline{Def}$ com 95% de confiança
Calculando $\nu_1$ e $\nu_2$ obtemos
$$\nu_1 = 2 \ast D_{Tot} = 2 \ast 94 = 188$$
$$\nu_2 = 2 \ast (D_{Tot} + 1) = 2 \ast 95 = 190$$
Com isso, os limites serão
$$LI = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{(0,025,~\nu_{1})} = 0,5 \ast \dfrac{1}{30} \ast 151,9231 = 2,532052$$
$$LS = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{(0,975,~\nu_{2})} = 0,5 \ast \dfrac{1}{30} \ast 230,0644 = 3,834407$$
$$\overline{DPU} = \dfrac{D_{Tot}}{N_{Tot}} = \dfrac{94}{1500} = 0,0627$$
Intervalo de confiança para $\overline{DPU}$ com 95% de confiança
$$LI = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{(0,025,~\nu_{1})} = 0,5 \ast \dfrac{1}{1500} \ast 151,9231 = 0,05064103$$
$$LS = 0,5 \ast \dfrac{1}{N_{Tot}} \ast \chi^2_{(0,975,~\nu_{2})} = 0,5 \ast \dfrac{1}{1500} \ast 230,0644 = 0,07668813$$
em que
-
$\nu_{1} = 2 \ast D_{Tot} = 2 \ast 94 = 188$
-
$\nu_{2} = 2 \ast (D_{Tot} + 1) = 2 \ast 95 = 190$
Ainda,
$$\min{DPU} = 0,02~~~~~{e}~~~~~\max{DPU} = 0,16.$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.
Figura 5.2.1: Gráficos da análise de performance do processo.