9.2 ANOVA Dois Fatores - Efeitos Fixos
2 - ANOVA - Dois Fatores
ANOVA - Dois Fatores
Muita vezes, ao estudarmos um processo, produto ou serviço, temos diversos fatores que podem influenciar na característica de interesse. A técnica da ANOVA permite avaliar o impacto que estes fatores provocam na característica de interesse. Para isto, considere um experimento com dois fatores, denominados $A$ e $B$, no qual o fator $A$ tem a níveis e o fator $B$ tem $b$ níveis. Para cada combinação de níveis, realizamos $r$ réplicas. Na tabela abaixo, apresentamos os dados do experimento:
| $ \textbf{Fator A}$ \ $\textbf {Fator B} $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ \dots $ | $ b $ | $ \textbf{Média} $ |
|---|---|---|---|---|---|
| $ 1 $ | $ y_{111},\ldots,y_{11r} $ | $ y_{121},\ldots,y_{12r} $ | $ \ldots $ | $ y_{1b1},\ldots,y_{1or} $ | $ \overline{y}_{1..} $ |
| $ 2 $ | $ y_{211},\ldots,y_{21r} $ | $ y_{221},\ldots,y_{22r} $ | $ \ldots $ | $ y_{2b1},\ldots,y_{2or} $ | $ \overline{y}_{2..} $ |
| $ \vdots $ | $ \vdots $ | $ \vdots $ | $ \vdots $ | $ \vdots $ | $ \vdots $ |
| $ a $ | $ y_{a11},\ldots,y_{a1r} $ | $ y_{a21},\ldots,y_{a2r} $ | $ \ldots $ | $ y_{ab1},\ldots,y_{abr} $ | $ \overline{y}_{a..} $ |
| Média | $ \overline{y}_{.1.} $ | $ \overline{y}_{.2.} $ | $ \ldots $ | $ \overline{y}_{.b.} $ | $ \overline{y}_{…} $ |
Tabela 9.2.1: Apresentação dos dados para dois fatores.
Exemplo 2.1
Uma empresa que produz limpadores de para-brisas para automóveis quer saber como os fatores Tipo de Caixa Redutora e Tipo de Eixo, utilizados na fabricação dos motores que acionam os limpadores, influenciam o ruído produzido, quando da utilização destes. Para isso realizamos um experimento com $ 54 $ motores, com $ 3 $ tipos de Eixo (Rolado, Cortado e Importado) e $ 2 $ tipos de Caixas Redutora (Nacional e Importada). Para cada motor (unidade experimental) medimos o ruído. Os dados estão na Tabela 9.2.2.
| Tipo de Eixo | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tipo de Caixa Redutora | Rolado | Cortado | Importado | ||||||
| $ 42,1 $ | $ 42 $ | $ 40,3 $ | $ 38,2 $ | $ 37,4 $ | $ 37 $ | $ 40,9 $ | $ 40,7 $ | $ 39,4 $ | |
| Nacional | $ 38,9 $ | $ 38,9 $ | $ 43,7 $ | $ 42,3 $ | $ 41,3 $ | $ 42,1 $ | $ 42 $ | $ 41,4 $ | $ 41,3 $ |
| $ 41 $ | $ 40,1 $ | $ 40,3 $ | $ 40,5 $ | $ 41,3 $ | $ 40,4 $ | $ 40,6 $ | $ 41,3 $ | $ 41,6 $ | |
| $ 39,6 $ | $ 40,2 $ | $ 48,4 $ | $ 41,3 $ | $ 46,8 $ | $ 40,3 $ | $ 39,6 $ | $ 36,9 $ | $ 39,9 $ | |
| Importada | $ 40,9 $ | $ 41 $ | $ 41 $ | $ 40,5 $ | $ 39,9 $ | $ 39,3 $ | $ 38,1 $ | $ 38,1 $ | $ 36,2 $ |
| $ 39,9 $ | $ 41 $ | $ 42,7 $ | $ 41,3 $ | $ 40,1 $ | $ 41,6 $ | $ 36,7 $ | $ 36,7 $ | $ 36,7 $ |
Tabela 9.2.2: Ruído (dB) do limpador de para-brisa.
Neste experimento, temos por interesse encontrar a combinação entre caixa redutora e eixo que minimiza o ruído. Ao realizamos um experimento com dois ou mais fatores, temos que ter muito cuidado na interpretação dos resultados. Um dos pontos fundamentais da análise é a avaliação da interação entre os fatores (caixa redutora e eixo) com respeito a característica de interesse (ruído).
Gráfico de interação
A interação entre os fatores corresponde a diferença de comportamento de um fator (exemplo, caixa redutora) nos diferentes níveis do outro fator (eixo) com respeito a característica de interesse (ruído). Uma das forma mais simples de avaliarmos a interação entre os fatores é o gráfico de interação. A seguir, vamos construir o gráfico de interação para exemplo do ruído no motor que aciona os limpadores de para-brisas.
Exemplo 2.2
Neste exemplo, vamos construir o gráfico de interação para o Exemplo 2.1. Para construirmos o gráfico de interação precisamos calcular as médias $ \overline{y}_{ij.} $ para $ i=1,2 $ e $ j=1,2,3 $ de cada combinação dos níveis dos fatores. Assim, para o tratamento Caixa Redutora Nacional e Eixo Rolado, temos:
$$\overline{y}_{11.}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{11k}=\frac{42,1+42+40,3+38,9+38,9+43,7+41+40,1+40,3}{9}$$
$$={367,3}{9}=40,81,$$
Caixa Redutora Nacional e Eixo Cortado, temos:
$$\overline{y}_{12.}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{11k}=\frac{38,2+ 37,4+37+42,3+41,3+42,1+40,5+41,3+40,4}{9}$$
$$={360,5}{9}=40,06.$$
Da mesma forma, temos:
$ \overline{y}_{13.}= 41,02, \quad \overline{y}_{21.}= 41,63, \quad \overline{y}_{22.}= 41,23 \quad$ e $ \quad \overline{y}_{23.}= 37,7. $
Exemplo 2.3
A seguir, dispomos estas médias em um gráfico. Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:
Figura 9.2.1: Gráfico de interações.
Conclusão
A interação entre os fatores está associada à mudança de comportamento de um fator nos diferentes níveis do outro fator, com relação à característica de interesse. Na figura 9.2.1, observamos que quando a caixa redutora é nacional (linha azul), os três níveis de eixo (Cortado, Importado e Rolado) não provocam mudança significativa no ruído do motor. Porém, quando a caixa redutora é importada (linha vermelha), existe diferença de ruído entre os três tipos de eixo. Neste caso, para um eixo importado temos menor ruído. Desta forma, evidenciamos uma interação entre os fatores (caixa redutora e eixo) na característica de interesse (ruído). Dependendo do tipo de caixa redutora, o comportamento do eixo, com respeito ao ruído, é diferente. Essa diferença caracteriza o que denominamos interação.
Gráfico de efeitos principais
Quando avaliamos os resultados de nosso experimento e evidenciamos a presença de interação, devemos ter muito cuidado na interpretação destes resultados. Em geral, nesta situação, perdemos a interpretação da influência isolada dos fatores. Porém, se não evidenciamos interação entre os fatores, podemos avaliar a influência isolada dos fatores via o gráfico de efeitos principais. O gráfico de efeitos principais, nos ajuda a avaliar o efeito de cada fator individualmente.
A Figura 9.2.2, não tem relação com o exemplo dos limpadores de para-brisa.
Figura 9.2.2: Exemplo de gráfico de efeitos principais.
Exemplo 2.4
Um engenheiro de processo deseja avaliar o impacto da ferramenta de corte no diâmetro de peças. Para isto, realizou em experimento com dois fatores, desgaste da ferramenta e ângulo de corte. Para cada fator foram considerados dois níveis.
| Ferramenta | Ângulo | Diâmetro |
|---|---|---|
| Nova | A | 18046,9 |
| Nova | A | 18046,9 |
| Nova | A | 18047 |
| Nova | A | 18047 |
| Nova | A | 18047,3 |
| Nova | A | 18047,3 |
| Nova | A | 18047 |
| Nova | A | 18047,1 |
| Nova | A | 18047 |
| Nova | A | 18046,9 |
| Nova | A | 18047,1 |
| Nova | A | 18047 |
| Nova | A | 18046,9 |
| Nova | A | 18047 |
| Nova | A | 18046,8 |
| Nova | A | 18047 |
| Nova | A | 18046,9 |
| Nova | A | 18047 |
| Nova | A | 18047 |
| Nova | A | 18047 |
| Nova | A | 18047 |
| Nova | A | 18047,1 |
| Nova | A | 18046,8 |
| Nova | A | 18047 |
| Nova | B | 18047,1 |
| Nova | B | 18047,1 |
| Nova | B | 18047,1 |
| Nova | B | 18046,8 |
| Nova | B | 18046,8 |
| Nova | B | 18047 |
| Nova | B | 18047 |
| Nova | B | 18046,8 |
| Nova | B | 18047 |
| Nova | B | 18047 |
| Nova | B | 18046,8 |
| Nova | B | 18047 |
| Nova | B | 18046,9 |
| Nova | B | 18046,9 |
| Nova | B | 18046,5 |
| Nova | B | 18046,5 |
| Nova | B | 18047,3 |
| Nova | B | 18047,1 |
| Nova | B | 18047 |
| Nova | B | 18047,2 |
| Nova | B | 18046,9 |
| Nova | B | 18047,2 |
| Nova | B | 18047 |
| Nova | B | 18047,2 |
| Nova | B | 18047,4 |
| Nova | B | 18047,1 |
| Velha | A | 18048,5 |
| Velha | A | 18048,3 |
| Velha | A | 18047,9 |
| Velha | A | 18047,8 |
| Velha | A | 18047,7 |
| Velha | A | 18047,8 |
| Velha | A | 18047,6 |
| Velha | A | 18047,5 |
| Velha | A | 18048 |
| Velha | A | 18047,8 |
| Velha | A | 18047,9 |
| Velha | A | 18047,4 |
| Velha | A | 18047,9 |
| Velha | A | 18047,7 |
| Velha | A | 18047,7 |
| Velha | A | 18047,6 |
| Velha | A | 18047,8 |
| Velha | A | 18047,8 |
| Velha | A | 18047,6 |
| Velha | A | 18047,8 |
| Velha | A | 18047,6 |
| Velha | A | 18047,9 |
| Velha | A | 18047,8 |
| Velha | A | 18047,8 |
| Velha | B | 18047,8 |
| Velha | B | 18047,7 |
| Velha | B | 18047,8 |
| Velha | B | 18047,7 |
| Velha | B | 18047,9 |
| Velha | B | 18047,8 |
| Velha | B | 18047,7 |
| Velha | B | 18048,1 |
| Velha | B | 18048 |
| Velha | B | 18047,6 |
| Velha | B | 18047,8 |
| Velha | B | 18047,6 |
| Velha | B | 18047,9 |
| Velha | B | 18047,9 |
| Velha | B | 18047,9 |
| Velha | B | 18047,8 |
| Velha | B | 18047,5 |
| Velha | B | 18048,3 |
| Velha | B | 18048 |
| Velha | B | 18047,7 |
| Velha | B | 18047,6 |
| Velha | B | 18047,6 |
| Velha | B | 18047,6 |
| Velha | B | 18047,7 |
| Velha | B | 18047,6 |
| Velha | B | 18047,7 |
Tabela 9.2.3: Desgaste da ferramenta e ângulo de corte para dois ângulos (fatores)
Inicialmente, vamos avaliar o gráfico de interação. Para construirmos o gráfico de interação precisamos calcular as médias $ \overline{y}_{ij.} $ para $ i=1,2 $ e $ j=1,2 $ de cada combinação dos níveis dos fatores. Assim, para os fatores Ferramenta e Ângulo, temos:
$$\overline{y}_{11.}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{11k}=18047$$
$$\overline{y}_{12.}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{11k}=18046,99$$
Da mesma forma, temos:
$ \overline{y}_{21.}= 18047,8, ~~ \overline{y}_{22.}= 18047,78 $. A seguir, dispomos as médias no gráfico de interação.
Figura 9.2.3: Gráfico de Interação entre os fatores
Ao avaliarmos o gráfico acima, não evidenciamos interação entre os fatores, pois independente da vida útil da ferramenta (Nova ou Velha), o efeito provocado pelo ângulo de corte é o mesmo (desprezível). Assim, concluímos que efeito do fator ângulo de corte (A e B) é o mesmo nos dois níveis do fator vida útil da ferramenta (Nova e Velha), o que caracteriza uma ausência de interação. Neste caso, podemos interpretar os gráficos de efeitos principais.
No gráfico de efeitos principais utilizamos as médias de cada nível, da seguinte forma
$$\overline{Y}_{i..}=\frac{1}{b~r}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~~~\hbox{e}~~~\overline{y}_{.j.}=\frac{1}{a~r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}.$$
Assim, em relação ao fator Ferramenta, temos:
$$\overline{y}_{1..}=\frac{1}{b~r}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{1jk}=18046,99~~~{e}$$
$$\overline{y}_{2..}=18047,79.$$
Repetindo o mesmo procedimento para os níveis do fator Ângulo, obtemos:
$$\overline{y}_{.1.}=18047,40~ ~~ \hbox{ e } ~~ ~\overline{y}_{.2.}=18047,38.$$
Assim construímos a Figura 9.2.4, com os efeitos principais.
Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:
| Nível | Limite Inferior | Efeito para média | Limite Superior |
|---|---|---|---|
| A | 18047.3452 | 18047.4 | 18047.4548 |
| B | 18047.332 | 18047.3846 | 18047.4372 |
Tabela 9.2.4: Intervalo de confiança do Efeito Angulo
| Nível | Limite Inferior | Efeito para média | Limite Superior |
|---|---|---|---|
| Nova | 18046.9403 | 18046.994 | 18047.0477 |
| Velha | 18047.7363 | 18047.79 | 18047.8437 |
Tabela 9.2.5: Intervalo de confiança do Efeito Ferramenta
Figura 9.2.4: Efeitos principais.
Através do gráfico de efeitos principais, temos evidência de que o fator ferramenta impacta no diâmetro da peça. Entretanto, não evidenciamos impacto do fator ângulo na característica de interesse (diâmetro).
2.1 - Modelos
Modelo para os dados
Para que possamos analisar os resultados do experimento, precisamos de um modelo que descreva os dados. Para facilitar a notação, apresentamos um modelo de dados balanceados (o número de réplicas (r) não depende do tratamento (ij)). Neste caso, tomamos:
$$Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\tau_{ij}+\varepsilon_{ijk}~~ \begin{cases} i=1,\ldots,a \hbox{ Fator A} \cr j=1,\ldots, b \hbox{ Fator B} \cr k=1,\ldots,r \hbox{ Réplica} \end{cases} \tag{2.1.1}$$
restrito a
$$\alpha_{.}=\sum_{i=1}^{a}\alpha_i=0~,~\beta_{.}=\sum_{j=1}^{b}\beta_j=0 \tag{2.1.2}$$
$$\tau_{.j}=\sum_{i=1}^{a}\tau_{ij}=0~,~\tau_{i.}=\sum_{j=1}^{b}\tau_{ij}=0 \tag{2.1.2}$$
Durante o desenvolvimento deste módulo utilizaremos a seguinte notação:
$$y_{i..} = \sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~y_{.j.}=\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~y_{ij.}=\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~y_{…}=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}$$
$$\overline{Y}_{i..}=\frac{1}{b~r}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~\overline{y}_{.j.}=\frac{1}{a~r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~,~~\overline{y}_{ij.}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk},$$
$$\overline{y}_{…}=\frac{1}{b~a~r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}$$
Assumimos que os erros $ \varepsilon_{ijk} $ são independentes e têm distribuição normal com média 0 e variância $ \sigma^2 $.
Como os erros $ \varepsilon_{ijk} $ são independentes, obtemos que as observações $ Y_{ijk} $ também são independentes. Logo
$$\varepsilon_{ijk}\sim N(0;~\sigma^2)~~~\hbox{e}~~Y_{ijk}\sim N(\mu +\alpha_i+\beta_j+\tau_{ij};~\sigma^2).$$
Notação
-
$ Y_{ijk} $ representa a k-ésima leitura no i-ésimo nível do fator A e j-ésimo nível do fator B;
-
$ \mu $ é a média geral dos dados;
-
$ \alpha_i $ é o efeito do nível $ i $ do fator A;
-
$ \beta_j $ é o efeito do nível $ j $ do fator B;
-
$ \tau_{ij} $ é o efeito da interação $ ij $ entre os fatores;
-
$ \varepsilon_{ijk} $ é o erro aleatório.
Em um experimento com dois fatores, temos diversos interesses. Em primeiro lugar, precisamos avaliar se existe interação entre os fatores. Como vimos anteriormente, o gráfico de interação nos apresenta evidências da interação. Aqui, vamos avaliar o efeito da interação através de um teste de hipóteses. Caso o efeito da interação não seja significativo, avaliamos os efeitos principais (individuais), também através de testes de hipóteses apropriados. Na tabela abaixo, apresentamos um resumo dos testes de hipóteses.
| Objetivo | Hipótese |
|---|---|
| efeito do fator A | (A) $\begin{cases} H_0: \alpha_1 = \cdots = \alpha_a = 0 \cr H_a: \alpha_i \neq 0 ~~ (i = 1,…,a) \end{cases}$ |
| efeito do fator B | (B) $\begin{cases} H_0: \beta_1 = \cdots = \beta_b = 0 \cr H_a: \beta_j \neq 0 ~~ (j = 1,…,b) \end{cases}$ |
| efeito da Interação (A x B) | (C) $\begin{cases} H_0: \tau_{ij} = 0 \hbox{ para todos os valores de i e j} \cr H_a: \tau_{ij} \neq 0 \end{cases}$ |
Tabela 9.2.6: Resumo dos testes de hipóteses
2.2 - Decomposição da Soma de Quadrados
Aqui, vamos “quebrar” a variabilidade total dos dados, denominada soma de quadrados total, em diversos componentes. Neste caso, mostramos que
$ SQ_T = SQ_A + SQ_B + SQ_{AB} + SQ_E $
no qual $ SQ_T $ é a soma de quadrados total, $ SQ_A $ é a soma de quadrados do fator A, $ SQ_B $ é a soma de quadrados do fator $ B $, $ SQ_{AB} $ é a soma de quadrados da interação $ A\times B $ e $ SQ_E $ é a soma de quadrados do erro. Para isto, temos que
$$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}- \overline{y}_{…})^2=$$
$$=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}\left[(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{…})+(\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{…})+(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}+\overline{y}_{…})+ (y_{ijk}-\overline{y}_{ij.})\right]^2 $$
Após algumas manipulações algébricas, obtemos que
$$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{y}_{…})^2=b~r \sum_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{…})^2 +a~r\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{…})^2 +r~\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}+\overline{y}_{…})^2$$
$$+\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{y}_{ij.})^2$$
Portanto
$$SQ_T=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{y}_{…})^2$$
$$SQ_A=b~r\sum_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{…})^2$$
$$SQ_B=a~r\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{…})^2$$
$$SQ_{AB}=r~\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}+\overline{y}_{…})^2$$
$$SQ_E=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{ijk}-\overline{y}_{ij.})^2 $$
Uma forma conveniente para se calcular a soma de quadrados é utilizar o cálculo de variância amostral. Na Tabela 9.2.7 apresentamos quais variâncias devemos calcular.
| $ \textbf{Fator A}$ \ $\textbf {Fator B} $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ \dots $ | $ b $ | $ \textbf{Média} $ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $ 1 $ | $ y_{111},\ldots,y_{11r} $ $$ s^2_{11}$$ | $ y_{121},\ldots,y_{12r}$ $$ s^2_{12}$$ | $ \ldots $ | $ y_{1b1},\ldots,y_{1or}$ $$ s^2_{1b}$$ | $ \overline{y}_{1..} $ | |
| $ 2 $ | $ y_{211},\ldots,y_{21r}$ $$ s^2_{21}$$ | $ y_{221},\ldots,y_{22r}$ $$ s^2_{22}$$ | $ \ldots $ | $ y_{2b1},\ldots,y_{2or}$ $$ s^2_{2b}$$ | $ \overline{y}_{2..} $ | |
| $ \vdots $ | $ \vdots $ | $ \vdots $ | $ \vdots $ | $ \vdots $ | $ \vdots $ | $s^2_A$ |
| $ a $ | $ y_{a11},\ldots,y_{a1r}$ $$ s^2_{a1}$$ | $ y_{a21},\ldots,y_{a2r}$ $$ s^2_{a2}$$ | $ \ldots $ | $ y_{ab1},\ldots,y_{abr}$ $$ s^2_{ab}$$ | $ \overline{y}_{a..} $ | |
| Média | $ \overline{y}_{.1.} $ | $ \overline{y}_{.2.} $ | $ \ldots $ | $ \overline{y}_{.b.} $ | $ \overline{y}_{…} $ | |
| $s^2_B$ |
Tabela 9.2.7: Entrada de dados e variâncias.
Portanto,
$$SQ_T=(a~b~r - 1)~s^2_g \tag{2.2.1}$$
$$SQ_A=b~r~(a - 1)~s^2_A \tag{2.2.2}$$
$$SQ_B=a~r~(b - 1)~s^2_B \tag{2.2.3}$$
$$SQ_E=(r - 1)~\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}~s^2_{ij} \tag{2.2.4}$$
$$SQ_{AB}=SQ_T-SQ_B-SQ_A-SQ_E \tag{2.2.5}$$
Sendo que:
- $ s^2_g $: representa a variância amostral com relação a todos os dados,
$$s^2_g = \frac{1}{a~b~r - 1}\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{b}\sum^{r}_{k=1}(y_{ijk} - \overline{y}_{…})^2;$$
- $ s^2_A $: representa a variância amostral com relação as médias dos níveis do Fator A,
$$s^2_A = \frac{1}{a - 1}\sum_{i=1}^{a}(\overline{Y}_{i..} - \overline{y}_{…})^2;$$
- $ s^2_B $: representa a variância amostral com relação as médias dos níveis do Fator B,
$$s^2_B = \frac{1}{b - 1}\sum^{b}_{j=1}(\overline{y}_{.j.} - \overline{y}_{…})^2; \quad \hbox{e}$$
- $ s^2_{ij} $: representa a variância amostral com relação a cada combinação de A e B,
$$s^2_{ij} = \frac{1}{r - 1}\sum^{r}_{k=1}(y_{ijk} - \overline{y}_{ij.})^2.$$
Cálculo dos Graus de Liberdade
O número de graus de liberdade em uma soma de quadrados é a quantidade de elementos independentes nessa soma. Por exemplo, consideremos a soma de quadrados $ \sum\limits_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}- \overline{y}_{…})^2 $. Neste caso, como $ \sum\limits_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{…})=0 $, nem todos os elementos $ (\overline{y}_{1..}-\overline{y}_{…}),\ldots, (\overline{y}_{a..}-\overline{y}_{…}) $ são independentes. Portanto, temos $ (a-1) $ graus de liberdade. Nesse sentido, os respectivos graus de liberdade associados a cada soma de quadrados são:
| Efeito | Grau de Liberdade |
|---|---|
| Fator A | a - 1 |
| Fator B | b - 1 |
| Interação $ A \times B $ | $ (a - 1)(b - 1) $ |
| Erro | $ a~b~(r - 1) $ |
| Total | $ a~b~r - 1 $ |
Figura 9.2.8: graus de liberdade
Cálculo dos quadrados médios
Cada soma de quadrados dividido por seu grau de liberdade determina o quadrado médio (QM), ou seja
$$QM_A = \frac{SQ_A}{a - 1} \tag{2.2.6}~~~~~~~~~~~~~~~\hbox{Fator A}$$
$$QM_B = \frac{SQ_B}{b - 1} \tag{2.2.7}~~~~~~~~~~~~~~~\hbox{Fator B}$$
$$QM_{AB} = \frac{SQ_{AB}}{(a - 1)(b - 1)} \tag{2.2.8}~~~~{A\times B}$$
$$QM_E = \frac{SQ_E}{a~b~(r - 1)} \tag{2.2.9}~~~~~~~~~\hbox{Réplica}$$
Considerando as expressões (2.2.1)-(2.2.5) e lembrando que o modelo está restrito às condições (2.1.2)
$$\alpha_{.}=\sum_{i=1}^{a}\alpha_i=0,$$
$$\beta_{.}=\sum_{j=1}^{b}\beta_j=0,$$
$$\tau_{.j}=\sum_{i=1}^{a}\tau_{ij}=0,$$
$$\tau_{i.}=\sum_{j=1}^{b}\tau_{ij}=0,$$
vamos calcular o valor esperado do QM.
Para o Fator $ A $, temos que
$$E(QM_A) = E\left(\frac{SQ_A}{a - 1}\right) = \frac{1}{a - 1}E(SQ_A)$$
$$ = \frac{1}{a - 1}~E \left[b~r \sum_{i=1}^{a}\left(\overline{y}_{i..} - \overline{y}_{…}\right)^2\right]$$
$$ = \frac{b~r}{a - 1} E \left[ \sum_{i=1}^{a} \overline{Y}_{i..}^2 - a \overline{y}_{…}^2 \right] = \frac{b~r}{a-1} \left[ \sum_{i=1}^{a} E(\overline{Y}_{i..}^2) - a E(\overline{y}_{…}^2) \right]$$
Sabemos que
$$\overline{y}_{i..}~\sim~N \left(\mu + \alpha_{i}+\overline{\beta_.}+\overline{\tau}_{i.}~;~\frac{\sigma^2}{b~r}\right),~~~~~~~~~~~~\overline{y}_{…}~\sim~N\left(\mu+\overline{\alpha}_{.}+\overline{\beta}_{.}+\overline{\tau}_{..}~;~\frac{\sigma^2}{a~b~r}\right)$$
com
$ \overline{\alpha}_{.}~=\cfrac{\alpha_{.}}{a} $,$ \overline{\beta}_{.}~=\cfrac{\beta_{.}}{b} $,
$ \overline{\tau}_{i.}=\cfrac{\tau_{i.}}{a} $,
$ \overline{\tau}_{.j}=\cfrac{\tau_{.j}}{b} $,
e $ \overline{\tau}_{..}~=\cfrac{\tau_{..}}{a b} $.
Lembrando das restrições (2.1.2), ficamos com
$$\overline{y}_{i..}~\sim~N \left(\mu + \alpha_{i} ~;~\frac{\sigma^2}{b~r}\right),~~~~~~~~~~~~\overline{y}_{…}~\sim~N \left(\mu ~;~\frac{\sigma^2}{a~b~r}\right).$$
Com isso,
$$E(QM_A) = \frac{b~r}{a - 1} \left[ \sum_{i=1}^{a} \left[ {var}(\overline{y}_{i..})+(E(\overline{y}_{i..}))^2 \right]-a \left[ {var}(\overline{y}_{…})+(E(\overline{y}_{…}))^2 \right] \right]$$
usando as restrições (2.1.2) temos
$$ = \sigma^2 + \frac{b~r}{a - 1}~\sum_{i=1}^{a}\left(\alpha_i+\overline{\alpha}_{.}+ \overline{\tau}_{i.}+\overline{\tau}_{..}\right)^2 =\sigma^2+\frac{b~r}{a-1}~\sum_{i=1}^{a}\left(\alpha_i\right)^2$$
De forma semelhante obtemos as esperanças dos demais quadrados médios. Resumidamente temos:
$$E(QM_A) = \sigma^2+\frac{b~r}{a-1}~\sum_{i=1}^{a}\left(\alpha_i\right)^2$$
$$E(QM_B) = \sigma^2 + \frac{a~r}{b - 1}~\sum^{b}_{j=1}\left(\beta_j\right)^2$$
$$E(QM_{AB}) = \sigma^2 + \frac{r}{(b-1)(a-1)}~\sum_{i=1}^{a}\sum^{b}_{j=1}\left(\tau_{ij}\right)^2$$
$$E(QM_E) = \sigma^2$$
2.3 - Análise Estatística
A seguir, vamos desenvolver um teste $ F $ para avaliarmos o efeito da interação e os efeitos principais, conforme tabela abaixo:
| Objetivo | Hipótese |
|---|---|
| efeito do fator A | (A) $\begin{cases} H_0: \alpha_1 = \cdots = \alpha_a = 0 \cr H_a: \alpha_i \neq 0 ~~ (i = 1,…,a) \end{cases}$ |
| efeito do fator B | (B) $\begin{cases} H_0: \beta_1 = \cdots = \beta_b = 0 \cr H_a: \beta_j \neq 0 ~~ (j = 1,…,b) \end{cases}$ |
| efeito da Interação (A x B) | (C) $\begin{cases} H_0: \tau_{ij} = 0 \hbox{ para todos os valores de i e j} \cr H_a: \tau_{ij} \neq 0 \end{cases}$ |
Tabela 9.2.8: Resumo dos testes de hipóteses
Sabemos que a soma de quadrados total é decomposta na forma $ SQ_T = SQ_A + SQ_B + SQ_{AB} + SQ_E. $
Assim, através do teorema de Cochran, garantimos, sob $ {H}_0 $, a independência das somas de quadrados e
$$\cfrac{SQ_A}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a - 1)}~~~ ~~ \hbox{ e } ~~ ~~~\cfrac{SQ_E}{\sigma^2 } \sim \chi^2_{(a~b~(r - 1))},$$
Desta forma, sob $ {H}_0 $ (hipóteses A) a estatística
$$F_0=\cfrac{\displaystyle\frac{SQ_A}{(\sigma^2)~(a-1)}}{\cfrac{SQ_E}{\sigma^2~a~b~(r-1)}}~ = ~\cfrac{QM_A}{QM_E} \sim F(a-1;~a~b~(r-1)),$$
isto é, $ {F}_0 $ tem distribuição F-Snedecor com (a-1) graus de liberdade no numerador e [$ab(r-1)$] graus de liberdade no denominador.
Para determinarmos a estatística do teste para as hipóteses B, obtemos do teorema de Cochran que, sob $ {H}_0 $
$$\cfrac{SQ_B}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(b - 1)}~~~ ~~ \hbox{ e } ~~ ~~~\cfrac{SQ_E}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a~b~(r - 1))}~,$$
são independentes. Assim, concluímos que a estatística (sob $ {H}_0 $)
$$F_0 =\cfrac{\displaystyle\cfrac{SQ_B}{(\sigma^2)~(b-1)}}{\cfrac{SQ_E}{\sigma^2~(a~b~(r-1))}}~ = ~\cfrac{QM_B}{QM_E} \sim F(b - 1;a~b~(r - 1)),$$
ou seja, $ {F}_0 $ tem distribuição de F-Snedecor com (b-1) graus de liberdade no numerador e [$ab(r-1)$] graus de liberdade no denominador.
Para determinarmos a estatística do teste para as hipóteses C, obtemos do teorema de Cochran que, sob $ {H}_0 $
$$\cfrac{SQ_{AB}}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a - 1)(b - 1)}~~~~~\hbox{e~também,}~~~~~\cfrac{SQ_E}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(a~b~(r - 1))}~~,$$
são independentes. Assim, sob $ {H}_0 $ temos que a estatística
$$F_0=\cfrac{\displaystyle\cfrac{SQ_{AB}}{(\sigma^2)~(a-1)(b-1)}}{\cfrac{SQ_E}{(\sigma^2 )~(a~b~(r-1))}}~ = ~\cfrac{QM_{AB}}{QM_E}~~\sim~F((a-1)(b-1);(ab(r-1)))$$
tem distribuição de F-Snedecor com (a - 1)(b - 1) graus de liberdade no numerador e [a b (r - 1)] graus de liberdade no denominador.
A região crítica (RC) do teste F é dada por $ RC=(F~\in~\Re^+ ~\mid~F > F_{1-\alpha}) $.
O valor crítico $ F_{1-\alpha} $ corresponde ao quantil $ (1-\alpha)100 \char37 $ da distribuição F-Snedecor com os respectivos graus de liberdade do numerador e do denominador e o nível de significância $ \alpha $. A Figura 9.2.5 mostra a região crítica do teste.
Figura 9.2.5: Região crítica do teste F.
O teste estatístico para as hipóteses (A, B, C) propostas, está resumido na tabela abaixo.
| FV | Graus de Liberdade | Soma de Quadrados | Quadrados Médios | F | P-Valor |
|---|---|---|---|---|---|
| Fator A | $ a -1 $ | $ SQ_A $ | $ QM_A $ | $ F_{A}=\cfrac{QM_A}{QM_E} $ | $ P(F> F_A) $ |
| Fator B | $ b -1 $ | $ SQ_B $ | $ QM_B $ | $ F_{B}=\cfrac{QM_B}{QM_E} $ | $ P(F> F_B) $ |
| Interação ($ A\times B $) | $ (a -1)(b -1) $ | $ SQ_{AB} $ | $ QM_{AB} $ | $ F_{AB}=\cfrac{QM_{AB}}{QM_E} $ | $ P(F> F_{AB}) $ |
| Erro | $ a~b~(r -1) $ | $ SQ_E $ | $ QM_E $ | ||
| Total | $ a~b~r - 1 $ | $ SQ_T $ |
Tabela 9.2.9: Tabela de Análise de Variância (ANOVA).
Exemplo 2.3.1
Faremos um estudo completo para os dados do Exemplo 2.1, que estão repetidos na Tabela 9.2.10.
| $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $ | Tipo de Eixo $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ |
|---|
| Tipo de Caixa Redutora | Rolado | Cortado | Importado | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $ 42,1 $ | $ 42 $ | $ 40,3 $ | $ 38,2 $ | $ 37,4 $ | $ 37 $ | $ 40,9 $ | $ 40,7 $ | $ 39,4 $ | |
| Nacional | $ 38,9 $ | $ 38,9 $ | $ 43,7 $ | $ 42,3 $ | $ 41,3 $ | $ 42,1 $ | $ 42 $ | $ 41,4 $ | $ 41,3 $ |
| $ 41 $ | $ 40,1 $ | $ 40,3 $ | $ 40,5 $ | $ 41,3 $ | $ 40,4 $ | $ 40,6 $ | $ 41,3 $ | $ 41,6 $ | |
| $ 39,6 $ | $ 40,2 $ | $ 48,4 $ | $ 41,3 $ | $ 46,8 $ | $ 40,3 $ | $ 39,6 $ | $ 36,9 $ | $ 39,9 $ | |
| Importada | $ 40,9 $ | $ 41 $ | $ 41 $ | $ 40,5 $ | $ 39,9 $ | $ 39,3 $ | $ 38,1 $ | $ 38,1 $ | $ 36,2 $ |
| $ 39,9 $ | $ 41 $ | $ 42,7 $ | $ 41,3 $ | $ 40,1 $ | $ 41,6 $ | $ 36,7 $ | $ 36,7 $ | $ 36,7 $ |
Tabela 9.2.10: Ruído (dB) do limpador de para-brisa.
Para os dados do exemplo, temos:
$$y_{11.}=42,1+42+40,3+38,9+38,9+43,7+41+40,1+40,3=367,3,\quad{e}$$
$$\overline{y}_{11.}=\cfrac{367,3}{9}=40,81, \quad {e}$$
$$\sqrt{s^2_{11}}=\sqrt{\cfrac{1}{8}[(42,1-40,81)^2+(42-40,81)^2+\ldots+(40,1-40,81)^2+(40,3-40,81)^2]}$$
$$=\sqrt{\cfrac{19,79}{8}} = 1,5728.$$
| Tipo de Eixo | ||||
|---|---|---|---|---|
| Tipo de Caixa Redutora | Rolado | Cortado | Importado | Média |
| Nacional | $$y_{11.} = 367,30$$ $$\bar{y}_{11.} = 40,81$$ $$\sqrt{s^2_{11}} = 1,57$$ | $$y_{12.} = 360,50$$ $$\bar{y}_{12.} = 40,06$$ $$\sqrt{s^2_{12}} = 2,01$$ | $$y_{13.} = 369,20$$ $$\bar{y}_{13.} = 41,02$$ $$\sqrt{s^2_{13}} = 0,75$$ | $$y_{1..} = 1097$$ $$\bar{y}_{1..} = 40,63$$ |
| Importado | $$y_{21.} = 374,70$$ $$\bar{y}_{21.} = 41,63$$ $$\sqrt{s^2_{21}} = 2,69$$ | $$y_{22.} = 371,10$$ $$\bar{y}_{22.} = 41,23$$ $$\sqrt{s^2_{22}} = 2,22$$ | $$y_{23.} = 339,30$$ $$\bar{y}_{23.} = 37,70$$ $$\sqrt{s^2_{23}} = 1,32$$ | $$y_{2..} = 1085,10$$ $$\bar{y}_{2..} = 40,19$$ |
| Média | $$y_{.1.} = 742$$ $$\bar{y}_{.1.} = 41,22$$ | $$y_{.2.} = 731,60$$ $$\bar{y}_{.2.} = 40,64$$ | $$y_{.3.} = 708,50$$ $$\bar{y}_{.3.} = 39,36$$ | $$y_{…} = 2182,10$$ $$\bar{y}_{…} = 40,41$$ |
Tabela 9.2.11: Ruído (dB) do limpador de para-brisa.
Na soma de quadrados, que segue, A representa o fator Tipo de Caixa Redutora e B o fator Tipo de Eixo.
$$SQ_A=3*9\left((40,63-40,41)^2+(40,19-40,41)^2\right)$$
$$=2,6224$$
$$SQ_B=2*9 \left((41,22-40,41)^2+(40,64-40,41)^2 + (39,36 - 40,41)^2\right)$$
$$=32,6670$$
$$SQ_E=(42,1-40,81)^2+(42-40,81)^2+\ldots+(37,2-37,70)^2+(36,7-37,70)^2$$
$$=167,8067$$
$$SQ_T=(42,1-40,41)^2+(42-40,41)^2+\ldots+(37,2-40,41)^2+(36,7-40,41)^2$$
$$=259,4254$$
$$SQ_{AB}=259,43-2,62-32,67-167,81$$
$$=56,3293$$
Os respectivos graus de liberdade associados a cada soma de quadrados são:
| Efeito | Grau de Liberdade |
|---|---|
| Fator A | 1 |
| Fator B | 2 |
| Interação $ A \times B $ | 2 |
| Erro | 48 |
| Total | 53 |
Tabela 9.2.12: graus de liberdade
Os quadrados médios (QM) são:
$$QM_A=\cfrac{2,62224}{1}=2,62224$$
$$QM_B=\cfrac{32,6670}{2}=16,3335$$
$$QM_{AB}=\cfrac{56,3293}{2}=28,1646$$
$$QM_E=\cfrac{167,8067}{48}=3,4960$$
| FV | Graus de Liberdade | Soma de Quadrados | Quadrados Médios | F | P-valor |
|---|---|---|---|---|---|
| Eixo (B) | 2 | 32,6670 | 16,3335 | $ \cfrac{16,3335}{3,4960}=4,6721 $ | 0,0140 |
| Caixa Redutora (A) | 1 | 2,6224 | 2,6224 | $ \cfrac{2,6224}{3,4960}=0,7501 $ | 0,3907 |
| Interação ($ A \times B $) | 2 | 56,3629 | 28,1646 | $ \cfrac{28,1646}{3,4960}=8,0563 $ | 0,0010 |
| Resíduo | 48 | 167,8067 | 3,4960 | ||
| Total | 53 | 259,4254 |
Tabela 9.2.13: Tabela de Análise de Variância (ANOVA).
Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:
| G.L. | Soma de Quadrados | Quadrado Médio | Estat. F | P-valor | |
|---|---|---|---|---|---|
| Eixo | 2 | 32.667 | 16.3335 | 4.6721 | 0.014 |
| Caixa.Redutora | 1 | 2.6224 | 2.6224 | 0.7501 | 0.3907 |
| Eixo:Caixa.Redutora | 2 | 56.3293 | 28.1646 | 8.0563 | 0.001 |
| Resíduos | 48 | 167.8067 | 3.496 |
Tabela 9.2.1: Tabela da ANOVA (Action Stat)
Exemplo 2.3.2
Faremos um estudo completo para os dados do Exemplo 2.4
Para os dados do exemplo, temos:
Na soma de quadrados, que segue, A representa o fator Ferramenta e B o fator Ângulo.
$$SQ_A=15,8404$$
$$SQ_B=0,0059$$
$$SQ_E=3,547$$
$$SQ_{AB}=0,00037$$
$$SQ_T=19,3936$$
Os quadrados médios (QM) são:
$$QM_A=\cfrac{15,84}{1}=15,84$$
$$QM_B=\cfrac{0,0059}{1}=0,0059$$
$$QM_{AB}=\cfrac{0,00037}{1}=0,00037$$
$$QM_E=\cfrac{3,547}{96}=0,0369$$
| FV | GL | SQ | QM | F | P-valor |
|---|---|---|---|---|---|
| Ferramenta (A) | 1 | 15,84 | 15,84 | $ \cfrac{15,8404}{0,037}=428,73 $ | 0 |
| Ângulo (B) | 1 | 0,0059 | 0,0059 | $ \cfrac{0,0059}{0,037}=0,16 $ | 0,6901 |
| Interação ($ A \times B $) | 1 | 0,00036 | 0,00036 | $ \cfrac{0,00036}{0,037}=0,01 $ | 0,9206 |
| Resíduo | 96 | 3,547 | 0,037 | ||
| Total | 99 | 19,3936 |
Tabela 9.2.15: Tabela de Análise de Variância (ANOVA).
Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:
| G.L. | Soma de Quadrados | Quadrado Médio | Estat. F | P-valor | |
|---|---|---|---|---|---|
| Ferramenta | 1 | 15.8404 | 15.8404 | 428.7317 | 0 |
| Angulo | 1 | 0.0059 | 0.0059 | 0.1599 | 0.6901 |
| Ferramenta:Angulo | 1 | 0.0004 | 0.0004 | 0.01 | 0.9206 |
| Resíduos | 96 | 3.5469 | 0.0369 |
Tabela 9.2.16: Tabela ANOVA (Software Action)
2.4 - Estimação dos Parâmetros do Modelo
A seguir, vamos apresentar os estimadores para os parâmetros do modelo
Modelo
$$Y_{ijk}=\mu +\alpha_{i}+\beta_{j}+\tau_{ij}+\varepsilon_{ijk},\quad i=1,\ldots,a \quad {e} \quad j=1,\ldots,b.$$
e intervalos de confiança. Como estimador da média geral, tomamos
$$\widehat{\mu}=\overline{y}_{…},$$
para os efeitos tomamos
$$\widehat{\alpha_{i}}=\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{…}$$
$$\widehat{\beta_{j}}=\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{…}$$
Um intervalo de confiança para a média do i-ésimo nível do fator A e do j-ésimo nível do fator B, pode ser facilmente estabelecido. A média do i-ésimo nível do fator A e do j-ésimo nível do fator B, é dada por
$$\mu_{i.}=\mu + \alpha_i$$
$$\mu_{j.}=\mu + \beta_j$$
Então, um estimador pontual para $ \mu_{i.} $ e $ \mu_{j.} $ é definido por
$$\widehat{\mu_{i.}}=\widehat{\mu}+\widehat{\alpha_i} = \overline{y}_{i..}$$
$$\widehat{\mu_{j.}}=\widehat{\mu}+\widehat{\beta_j} = \overline{y}_{.j.}$$
Sabemos que $ Y_{ijk} \sim N(\mu + \alpha_i + \beta_j +\tau_{ij}~;~\sigma^2) $.
Vamos assumir as restrições (2.1.2), ou seja, $ \sum\limits^{a_{i=1}}\alpha_i = 0 $, $ \sum\limits^{b}_{j=1}\beta_j = 0 $, $ \sum\limits^{a}_{i=1}\tau_{ij} = 0 $ e $ \sum\limits^{b}_{j=1}\tau_{ij} = 0 $. Com isso, temos que
$$\overline{y}_{i..} \sim N \left(\mu+\alpha_i~;~\frac{\sigma^2}{b~r}\right) \hbox{e} ~~ \overline{y}_{.j.}\sim N\left(\mu+\beta_j~;~\frac{\sigma^2}{a~r}\right).$$
Além disso, concluímos que
$$z = \frac{\overline{y}_{i..}- \mu_{i.}}{\sqrt{{var}(\overline{y}_{i..})}}\sim N(0,1) ~~ \hbox{ e } ~~ \frac{a~b~(r - 1)QM_E}{\sigma^2}~\sim~\chi^2_{(a~b~(r-1))}$$
Desta forma, obtemos que
$$T = \cfrac{\cfrac{\overline{y}_{i..} - \mu_{i.}}{\sqrt{{var}(\overline{y}_{i..})}}}{\sqrt{\cfrac{\cfrac{a~b~(r-1)QM_E}{\sigma^2}}{a~b~(r-1)}}} = \cfrac{\overline{y}_{i..} - \mu_{i.}}{\sqrt{\cfrac{QM_E}{b~r}}}~\sim~t_{(a~b~(r-1))}$$
ou seja, T tem distribuição t-Student com $ [a~b~(r - 1)] $ graus de liberdade. Portanto, o intervalo com confiança de $ (1-\alpha)100 \char37 $ para a média do i-ésimo nível do fator A é definido por
$$\overline{y}_{i..}-t(1-\alpha/2;a~b~(r-1))*\sqrt{\frac{QME}{b~r} } \leq \mu_{i.} \leq \overline{y}_{i..}+t(1- \alpha/2;a~b~(r-1))*\sqrt{\frac{QME}{b~r}},$$
no qual $ t(1-\alpha/2;a~b~(r-1)) $ representa o quantil $ (1-\alpha/2) $ da distribuição t-Student com $ a~b~(r-1) $ graus de liberdade. Da mesma forma, temos que o intervalo com confiança de $ (1-\alpha)100 \char37 $ para a média do j-ésimo nível do fator B é definido por
$$\overline{y}_{.j.}-t(1-\alpha/2;a~b~(r - 1))*\sqrt{\frac{QME}{a~r} } \leq \mu_{.j} \leq \overline{y}_{.j.}+ t(1-\alpha/2;a~b~(r-1))*\sqrt{\frac{QME}{a~r}}$$
Podemos ainda, criar um intervalo de confiança para a diferença entre as médias de um mesmo fator, visto que
$$\overline{y}_{i..} \sim N\left(\mu+\alpha_i~;~\frac{\sigma^2}{b~r}\right)$$
são independentes para $ i=1,\ldots,a $, temos que
$$\overline{y}_{i..} - \overline{y}_{l..} \sim N\left(\alpha_i-\alpha_l~;~\frac{2\sigma^2}b~r\right).$$
Logo
$$ \cfrac{\overline{y}_{i..} - \overline{y}_{l..}-(\alpha_i-\alpha_l)}{\sqrt{\cfrac{2\sigma^2}{b~r}}} \sim N(0,1)$$
Desta forma, obtemos que
$$T=\frac{\displaystyle\cfrac{\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{l..}-(\alpha_i-\alpha_l)}{\displaystyle\sqrt{\cfrac{2\sigma^2}{b~r}}}}{\sqrt{\cfrac{\cfrac{a~b~(r - 1)QM_E}{\sigma^2}}{a~b~(r -1)}}}=\cfrac{\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{l..}-(\alpha_i-\alpha_l)}{\sqrt{\cfrac{2*QM_E}{b~r}}}~\sim~t_{(a~b~(r- 1))}$$
Assim um intervalo de confiança de $ (1-\alpha)100 \char37 $ para a diferença entre as médias dos níveis fator A, será dado por
$$ \overline{y}_{i..}-\overline{y}_{l..}-\Delta \leq \mu_{i.}-\mu_{l.} \leq \overline{y}_{i..} -\overline{y}_{l..} + \Delta$$
onde
$$\Delta = t(1 - \alpha /2;a~b~(r - 1)) * \sqrt { \frac {2*QME}{b~r}}.$$
Similarmente podemos construir um intervalo de confiança de $ (1-\alpha)100 \char37 $ para a diferença entre as médias dos níveis do fator B, na forma
$$ \overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{.l.}-\Delta \leq \mu_{.j}-\mu_{.l} \leq \overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{.l.} + \Delta$$
onde
$$\Delta=t(1- \alpha/2;a~b~(r - 1))* \sqrt{ \frac{2*QME}{a~r}}.$$
Exemplo 2.4.1
Voltando ao Exemplo 2.1 (ruído do limpador de para-brisa), encontramos as seguintes estimativas para a média geral e para os efeitos dos níveis.
| $ \widehat{\mu}=\overline{y}_{…} = 40,41 $ | $ \widehat{\beta_{1}}=41,22-40,41=0,81 $ |
|---|---|
| $ \widehat{\alpha_{1}}=40,63-40,41=0,22 $ | $ \widehat{\beta_{2}}=40,64-40,41=0,24 $ |
| $ \widehat{\alpha_{2}}=40,19-40,41=-0,22 $ | $ \widehat{\beta_{3}}=39,36-40,41=-1,05 $ |
Tabela 9.2.17: estimativas dos parâmetros
Um intervalo com confiança de 95 % para a média do nível 1 (Nacional) do fator A (Tipo de Caixa Redutora) é dado por
$$\overline{y}_{1..}-t_{(0,975; 48)}*\sqrt{\frac{QME}{b~r}} \leq \mu_{1.}~~0\leq~~\overline{y}_{1..}+t_{(0,975;48)}*\sqrt{\frac{QME}{b~r}}$$
$$40,63-2,010635*\sqrt{\frac{3,4960}{27}} \leq \mu_{1.} \leq 40,63+2,010635*\sqrt{\frac{3,4960}{27}}$$
$$39,91 \leq {\mu_1.} \leq 41,35$$
Um intervalo com confiança de 95 % para a média do nível 2 (Importado) do fator B (Tipo de Eixo) é dado por
$$\overline{y}_{.2.}-t_{(0,975; 48)}*\sqrt{\frac{QME}{a~r}} \leq \mu_{.2} \leq \overline{y}_{.2.}+t_{(0,975; 48)}*\sqrt{\frac{QME}{a~r}}$$
$$39,36-2,010635*\sqrt{\frac{3,4960}{18}} \leq \mu_{.2} \leq 39,36+2,010635*\sqrt{\frac{3,4960}{18}}$$
$$38,47 \leq \mu_{.3} \leq 40,23$$
Um intervalo com confiança de 95% para a diferença entres as médias do nível Cortado e Importado do fator B (Tipo de Eixo) é dado por
$$\Delta=t_{(0,975; 48)}*\sqrt{\frac{2*QME}{a~r}}$$
$$\Delta=2,010635*\sqrt{\frac{2*3.4960}{18}}=0,6232506$$
$$ \overline{y}_{.2.}-\overline{y}_{.3.}-\Delta \leq \mu_{2.}-\mu_{3.} \leq \overline{y}_{.2.}-\overline{y}_{.3.}+\Delta $$
$$40,64-39,36-0,6232506 \leq \mu_{2.}-\mu_{3.} \leq 40,64-39,36+0,6232506$$
$$0,6567 \leq \mu_{2.}-\mu_{3.} \leq 1,903251$$
Usando o software Action temos os seguintes resultados:
| G.L. | Soma de Quadrados | Quadrado Médio | Estat. F | P-valor | |
|---|---|---|---|---|---|
| Eixo | 2 | 32.667 | 16.3335 | 3.6437 | 0.0333 |
| Caixa.Redutora | 1 | 2.6224 | 2.6224 | 0.585 | 0.448 |
| Resíduos | 50 | 224.1359 | 4.4827 |
Tabela 9.2.18: Tabela da ANOVA
| Nível | Limite Inferior | Efeito para média | Limite Superior |
|---|---|---|---|
| Cortado | 39.6421 | 40.6444 | 41.6468 |
| Importado | 38.3588 | 39.3611 | 40.3635 |
| Rolado | 40.2199 | 41.2222 | 42.2246 |
Tabela 9.2.19: Intervalo de confiança do Efeito Eixo
| Nível | Limite Inferior | Efeito para média | Limite Superior |
|---|---|---|---|
| Importado | 39.3705 | 40.1889 | 41.0073 |
| Nacional | 39.8112 | 40.6296 | 41.448 |
Tabela 9.2.20: Intervalo de confiança do Efeito Caixa.Redutora
| Fator | Média | Desvio Padrão | Limite Inferior | Limite Superior |
|---|---|---|---|---|
| Rolado | 41.2222 | 2.1787 | 40.1388 | 42.3056 |
| Importado | 39.3611 | 2.0003 | 38.3664 | 40.3559 |
| Cortado | 40.6444 | 2.1426 | 39.5789 | 41.7099 |
Tabela 9.2.21: Intervalo de Confiança das Médias do Fator Eixo
| Fator | Média | Desvio Padrão | Limite Inferior | Limite Superior |
|---|---|---|---|---|
| Importado | 40.1889 | 2.7413 | 39.1045 | 41.2733 |
| Nacional | 40.6296 | 1.5369 | 40.0216 | 41.2376 |
Tabela 9.2.22: Intervalo de Confiança das Médias do Fator Caixa Redutora
Figura 9.2.5: Gráfico de Intervalos dos Fatores
2.5 - Análise de resíduos
A decomposição da variabilidade na análise de variância é puramente algébrica. Entretanto, para realizarmos os testes estatísticos e os intervalos de confiança, utilizamos as seguintes hipóteses:
- Os erros $ \varepsilon_{ijk} $ são normais e independentes, com média $ 0 $ e variância constante $ \sigma^2; $ e
- As observações são descritas através do modelo $ y_{ijk}=\mu + \alpha_{i} + \beta_{j} + \tau_{ij} + \varepsilon_{ijk}. $
Na prática, precisamos verificar se estas suposições não são absurdas. Violações nestas suposições são verificadas através dos resíduos. O resíduo para a k-ésima observação do nível i do fator A e nível j do fator B é definido por:
$$\widehat{e_{ijk}}=y_{ijk}-\widehat{y_{ijk}}. \tag{2.5.1}$$
onde $ \widehat{y_{ijk}} $ é uma estimativa da observação $ y_{ijk} $
obtida por:
$$\widehat{y_{ijk}}=\widehat{\mu}+\widehat{\alpha}_i+\widehat{\beta_j}+\widehat{\tau_{ij}}$$
$$=\overline{y}_{…}+(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{..})+(\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{..})+\left(\overline{y}_{ij.}-(\widehat{\alpha}_i+\widehat{\beta_j}-\overline{y}_{…})\right)=\overline{y}_{ij.},$$
Portanto
$$\widehat{y_{ijk}}=\overline{y}_{ij.}. \tag{2.5.2}$$
Para mais detalhes verificar o conteúdo de Testes de Normalidade (Inferência Estatística).
Exemplo 2.5.1
Consideremos os dados apresentados no Exemplo 2.1, calcular os resíduos das observações.
Lembramos que os resíduos são calculados usando a equação $ \widehat{e_{ijk}}=y_{ijk}-\widehat{y_{ijk}}, $ conforme (2.5.1), sendo que os $ y_{ijk} $ são cada um dos valores da variável resposta, nesse caso o Ruído produzido pelo limpador de para-brisas, e que $ \widehat{y_{ijk}} = \overline{y}_{ij.}, $ conforme expressão (2.5.2).
A tabela 9.2.23 contém os resíduos dos dados do exemplo.
| Tipo de Eixo | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tipo de Caixa Redutora | Rolado | Cortado | Importado | ||||||
| 1,29 | 1,19 | -0,51 | -1,86 | -2,66 | -3,06 | -0,12 | -0,32 | -1,62 | |
| Nacional | -1,91 | -1,91 | 2,89 | 2,24 | 1,24 | 2,04 | 0,98 | 0,38 | 0,28 |
| 0,19 | -0,71 | -0,51 | 0,44 | 1,24 | 0,34 | -0,42 | 0,28 | 0,58 | |
| -2,03 | -1,43 | 6,77 | 0,07 | 5,57 | -0,93 | 1,9 | -0,8 | 2,2 | |
| Importada | -0,73 | -0,63 | -0,63 | -0,73 | -1,33 | -1,93 | 0,4 | 0,3 | -1,5 |
| -1,73 | -0,63 | 1,07 | 0,07 | -1,13 | 0,37 | -1 | -0,5 | -1 |
Tabela 9.2.23: Cálculo dos Resíduos.
Uma ferramenta importante na análise de resíduos são os gráficos apresentados a seguir.
Usando o software Action temos os seguintes resultados:
Figura 9.2.6: Gráficos de resíduos.