9.7 Aplicações da ANOVA
Nesta seção, vamos mostrar algumas aplicações da ANOVA. Todos os casos apresentados são reais e foram elaborados pelo cliente com a participação da equipe ESTATCAMP.
Aplicação 1 - Produção de produto
Uma empresa produz um certo tipo de produto e usa como fatores material e perfil do material. Para isso realizamos um experimento com 42 peças, com 2 tipos de materiais (MAS15, MAS17) e 3 tipos de perfil de material (Padrão, Ramp Pad1, Ramp Pad2 ). Os dados estão na Tabela 9.7.1.
| Material | Perfil | Medida |
|---|---|---|
| MAS 15 | Ramp and Pad #1 | 2,19 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #2 | 3,16 |
| MAS 15 | Baseline | 2,19 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #1 | 5,59 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #2 | 3,65 |
| MAS 17 | Baseline | 2,68 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #1 | 4,86 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #2 | 3,4 |
| MAS 15 | Baseline | 2,19 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #1 | 8,27 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #2 | 4,38 |
| MAS 17 | Baseline | 3,16 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #1 | 5,84 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #2 | 1,95 |
| MAS 15 | Baseline | 1,7 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #1 | 5,11 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #2 | 3,89 |
| MAS 17 | Baseline | 6,57 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #1 | 2,92 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #2 | 4,38 |
| MAS 15 | Baseline | 1,46 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #1 | 9,24 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #2 | 4,86 |
| MAS 17 | Baseline | 5,84 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #1 | 2,43 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #2 | 5,84 |
| MAS 15 | Baseline | 1,46 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #1 | 7,05 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #2 | 5,35 |
| MAS 17 | Baseline | 3,16 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #1 | 2,68 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #2 | 2,19 |
| MAS 15 | Baseline | 1,46 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #1 | 8,27 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #2 | 5,84 |
| MAS 17 | Baseline | 2,68 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #1 | 5,11 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #2 | 6,08 |
| MAS 15 | Baseline | 1,95 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #1 | 7,78 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #2 | 3,65 |
| MAS 17 | Baseline | 2,19 |
Tabela 9.7.1: Dados de entrada.
Primeiramente vamos construir o gráfico de interações. Para o gráfico de interações precisamos de alguns cálculos auxiliares, que são as médias $ y_{ij.} $ para $i = 1, 2$ e $j = 1, 2, 3$.
Assim, quando temos MAS15 e Baseline, temos:
$$\overline{y_{11.}}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{11k}=\frac{2,19+2,19+1,7+1,46+1,46+1,46+1,95}{7}={12,41}{7}=1,77$$
MAS15 e Ramp Pad1, temos:
$$\overline{y_{12.}}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{11k}=\frac{2,19+4,86+5,84+2,92+2,43+2,68+5,11}{7}={26,03}{7}=3,71.$$
Da mesma forma, temos:
$ \overline{y_{13.}}=3,85, $$ \overline{y_{21.}}=3,75, $$ \overline{y_{22.}}=7,33 $ e $ \overline{y_{23.}}= 4,51. $
Com esses dados podemos construir o gráfico, obtendo a Figura 9.7.1.
Figura 9.7.1: Gráfico de interações.
Observamos no gráfico que há uma mudança de comportamento no nível Ramp and Pad#2. Assim, podemos ter indícios de interação no nível Ramp and Pad#2.
Agora, faremos um gráfico de efeitos principais para nos ajudar a detectar o efeito de cada fator individualmente, isto é, verificar em qual nível do fator o efeito é mais evidente.
Construiremos agora, o gráfico de efeitos principais e utilizaremos as médias de cada nível, da seguinte forma
$$\overline{y_{i..}} =\frac{1}{b~r}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~~~{e}~~~\overline{y_{.j.}}=\frac{1}{a~r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}.$$
Após feitos os cálculos, obtemos os seguintes resultados:
| Material*Perfil | Nível | Limite Inferior | Efeito para média | Limite Superior |
|---|---|---|---|---|
| MAS 15 | Baseline | 0.7329 | 1.7729 | 2.8128 |
| MAS 17 | Baseline | 2.7143 | 3.7543 | 4.7942 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #1 | 2.6786 | 3.7186 | 4.7585 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #1 | 6.2901 | 7.33 | 8.3699 |
| MAS 15 | Ramp and Pad #2 | 2.8172 | 3.8571 | 4.8971 |
| MAS 17 | Ramp and Pad #2 | 3.4772 | 4.5171 | 5.5571 |
Tabela 9.7.2: Intervalo de Confiança para os Efeitos.
Figura 9.7.2: Gráfico de Efeitos Principais.
Notamos na Figura 9.7.2 que os níveis do fator Material e Perfil não apresentam o mesmo comportamento, indicando que sua mudança influencia na medição.
Modelo para os dados
Como parte da análise dos dados o ajuste de um modelo. Esse modelo pode ser definido como:
$$y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \tau_{ij} + \varepsilon_{ijk}~~~~~~~~\begin{cases} i = 1, 2 ~~~ \hbox{Fator Material} \cr j = 1, 2, 3 ~~~ \hbox{Fator Perfil} \cr k = 1, \ldots, 7 ~~~ \hbox{Réplica}\end{cases}$$
restrito a
$$\alpha_{.}=\sum_{i=1}^{a}\alpha_i=0~~,~~\beta_{.}=\sum_{j=1}^{b}\beta_j=0~~,~~\tau_{.j}=\sum_{i=1}^{a}\tau_{ij}=0~~,~~\tau_{i.}=\sum_{j=1}^{b}\tau_{ij}=0.$$
- $ y_{ijk} $ representa a $ k $-ésima leitura no $ i $-ésimo nível do fator Material e $ j $-ésimo nível do fator Perfil;
- $ \mu $ é a média geral dos efeitos;
- $ \alpha_i $ é o efeito do Fator Material;
- $ \beta_j $ é o efeito do Fator Perfil;
- $ \tau_{ij} $ é o efeito da interação entre os fatores;
- $ \varepsilon_{ijk} $ é o erro aleatório.
Assim, obtemos os seguintes resultados:
| G.L. | Soma de Quadrados | Quadrado Médio | Estat. F | P-valor | |
|---|---|---|---|---|---|
| Perfil | 2 | 53.3682 | 26.6841 | 12.4329 | 0.0001 |
| Material | 1 | 45.6146 | 45.6146 | 21.2531 | 0 |
| Resíduos | 38 | 81.5578 | 2.1463 |
Tabela 9.7.3: Tabela da ANOVA.
Figura 9.7.3: Papel de Probabilidade.
Aplicação 2 - Influência na medição de um furo
Uma empresa de motores está interessada na influência dos fatores Dureza (HB) e Ferramenta, na medida de um furo. São usados três tipos de Ferramenta: Nova, Meia-vida e Velha, e duas medidas de Dureza: 91 HB e 95 HB. Os dados coletados no experimento estão na Tabela 9.7.4. A variável Medida está na unidade mícron (1 mícron equivale a 1 milésimo de milímetro).
| Medida | Dureza | Ferramenta |
|---|---|---|
| 18046,9 | 91 | Nova |
| 18046,9 | 91 | Nova |
| 18047 | 91 | Nova |
| 18047 | 91 | Nova |
| 18047,3 | 91 | Nova |
| 18047,3 | 91 | Nova |
| 18047 | 91 | Nova |
| 18047,1 | 91 | Nova |
| 18047 | 91 | Nova |
| 18046,9 | 91 | Nova |
| 18047,7 | 91 | Nova |
| 18047,7 | 91 | Nova |
| 18047,8 | 91 | Nova |
| 18047,6 | 91 | Nova |
| 18047,8 | 91 | Nova |
| 18047,6 | 91 | Nova |
| 18047,7 | 91 | Nova |
| 18047,7 | 91 | Nova |
| 18047,5 | 91 | Nova |
| 18047,4 | 91 | Nova |
| 18048 | 91 | Meia-vida |
| 18047,8 | 91 | Meia-vida |
| 18047,8 | 91 | Meia-vida |
| 18047,5 | 91 | Meia-vida |
| 18047,9 | 91 | Meia-vida |
| 18047,5 | 91 | Meia-vida |
| 18047,6 | 91 | Meia-vida |
| 18047,6 | 91 | Meia-vida |
| 18047,7 | 91 | Meia-vida |
| 18047,4 | 91 | Meia-vida |
| 18048,4 | 91 | Meia-vida |
| 18048,2 | 91 | Meia-vida |
| 18048,1 | 91 | Meia-vida |
| 18048,4 | 91 | Meia-vida |
| 18047,9 | 91 | Meia-vida |
| 18047,9 | 91 | Meia-vida |
| 18047,9 | 91 | Meia-vida |
| 18048 | 91 | Meia-vida |
| 18047,8 | 91 | Meia-vida |
| 18047,9 | 91 | Meia-vida |
| 18048 | 91 | Meia-vida |
| 18047,8 | 91 | Meia-vida |
| 18048,1 | 91 | Meia-vida |
| 18048,2 | 91 | Meia-vida |
| 18047,9 | 91 | Meia-vida |
| 18047,7 | 91 | Meia-vida |
| 18048,1 | 91 | Meia-vida |
| 18047,8 | 91 | Meia-vida |
| 18047,8 | 91 | Meia-vida |
| 18048 | 91 | Meia-vida |
| 18047,9 | 91 | Velha |
| 18047,4 | 91 | Velha |
| 18047,9 | 91 | Velha |
| 18047,7 | 91 | Velha |
| 18047,7 | 91 | Velha |
| 18047,6 | 91 | Velha |
| 18047,8 | 91 | Velha |
| 18047,8 | 91 | Velha |
| 18047,6 | 91 | Velha |
| 18047 | 91 | Velha |
| 18048,4 | 91 | Velha |
| 18048,6 | 91 | Velha |
| 18048,3 | 91 | Velha |
| 18048,3 | 91 | Velha |
| 18048,2 | 91 | Velha |
| 18048,3 | 91 | Velha |
| 18048,3 | 91 | Velha |
| 18048,4 | 91 | Velha |
| 18048,2 | 91 | Velha |
| 18048,4 | 91 | Velha |
| 18047,7 | 95 | Meia-vida |
| 18047,7 | 95 | Meia-vida |
| 18047,9 | 95 | Meia-vida |
| 18047,2 | 95 | Meia-vida |
| 18047,5 | 95 | Meia-vida |
| 18047,8 | 95 | Meia-vida |
| 18047,7 | 95 | Meia-vida |
| 18047,7 | 95 | Meia-vida |
| 18047,6 | 95 | Meia-vida |
| 18047,2 | 95 | Meia-vida |
| 18047,6 | 95 | Velha |
| 18047,9 | 95 | Velha |
| 18047,8 | 95 | Velha |
| 18047,8 | 95 | Velha |
| 18047,8 | 95 | Velha |
| 18047,7 | 95 | Velha |
| 18047,8 | 95 | Velha |
| 18047,7 | 95 | Velha |
| 18047,9 | 95 | Velha |
| 18047,8 | 95 | Velha |
| 18048 | 95 | Velha |
| 18048,3 | 95 | Velha |
| 18048,2 | 95 | Velha |
| 18048,3 | 95 | Velha |
| 18048,4 | 95 | Velha |
| 18048,5 | 95 | Velha |
| 18048,3 | 95 | Velha |
| 18048,3 | 95 | Velha |
| 18048,3 | 95 | Velha |
| 18048,3 | 95 | Velha |
Tabela 9.7.4: Dados do experimento.
Faremos uma Análise de Variância considerando os fatores Dureza e Ferramenta.
Para facilitar a notação, chamaremos Dureza (A) e Ferramenta (B), assim temos a tabela da ANOVA:
A tabela a seguir apresenta a Análise de Variância (ANOVA) para os fatores Fábrica, Máquina e a Interação.
Primeiramente vamos construir o gráfico de interações. Para o gráfico de interações precisamos de alguns cálculos auxiliares, que são as médias $ y_{ij.} $ para $i = 1, 2$ e $j = 1, 2, 3$.
Assim, quando temos Dureza de 91 HB, temos:
$$\overline{y_{11.}}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{11k}=\frac{18046,9+\dots+18048}{70}=\frac{1263343,4}{70}=18047,76$$
Dreza de 95 HB, temos:
$$\overline{y_{12.}}=\frac{1}{r}\sum_{k=1}^{r}y_{11k}=\frac{18047,7+\dots+18048,3}{30}=\frac{541436,7}{30}=18047,89.$$
Da mesma forma, temos:
$ \overline{y_{21.}}=18047,82, $$ \overline{y_{22.}}=18047,34 $ e $ \overline{y_{23.}}= 18048,01. $
Com esses dados podemos construir o gráfico, obtendo a Figura 4.2.1.
Figura 9.7.4: Gráfico de interações.
Observamos no gráfico que há uma mudança de comportamento no nível de dureza de 95 HB. Assim, podemos ter indícios de interação no nível de dureza.
Agora, faremos um gráfico de efeitos principais para nos ajuda a detectar o efeito de cada fator individualmente, isto é, verificar em qual nível do fator o efeito é mais evidente.
Construiremos agora, o gráfico de efeitos principais e utilizamos as médias de cada nível, da seguinte forma
$$\overline{y_{i..}} =\frac{1}{b~r}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~~~ \hbox{e} ~~~\overline{y_{.j.}}=\frac{1}{a~r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}.$$
Após feitos os cálculos, obtemos os seguintes resultados:
| Nível | Limite Inferior | Efeito para média | Limite Superior |
|---|---|---|---|
| 91 | 18047.753 | 18047.8306 | 18047.9081 |
| 95 | 18047.6091 | 18047.732 | 18047.8549 |
Tabela 9.7.5: Intervalo de confiança do Efeito Dureza
| Nível | Limite Inferior | Efeito para média | Limite Superior |
|---|---|---|---|
| Meia-vida | 18047.7126 | 18047.8126 | 18047.9125 |
| Nova | 18047.1674 | 18047.3154 | 18047.4635 |
| Velha | 18047.9281 | 18048.0322 | 18048.1363 |
Tabela 9.7.6: Intervalo de confiança do Efeito Ferramenta
Figura 9.7.5: Gráfico de Efeitos Principais.
Notamos na Figura 9.7.5 que os níveis do fator Dureza e Ferramenta não apresentam o mesmo comportamento, indicando que sua mudança influencia na medição.
Modelo para os dados
Como parte da análise dos dados o ajuste de um modelo. Esse modelo pode ser definido como:
$$y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \tau_{ij} + \varepsilon_{ijk}~~~~~~~~\begin{cases} i = 1, 2 ~~~ \hbox{Fator Dureza} \cr j = 1, 2, 3 ~~~ \hbox{Fator Ferramenta} \cr k = 1, 2 ~~~ \hbox{Réplica} \end{cases}$$
restrito a
$$\alpha_{.}=\sum_{i=1}^{a}\alpha_i=0~~,~~\beta_{.}=\sum_{j=1}^{b}\beta_j=0~~,~~\tau_{.j}=\sum_{i=1}^{a}\tau_{ij}=0~~,~~\tau_{i.}=\sum_{j=1}^{b}\tau_{ij}=0.$$
- $ y_{ijk} $ representa a $ k $-ésima leitura no $ i $-ésimo nível do fator Dureza e $ j $-ésimo nível do fator Ferramenta;
- $ \mu $ é a média geral dos efeitos;
- $ \alpha_i $ é o efeito do Fator Dureza;
- $ \beta_j $ é o efeito do Fator Ferramenta;
- $ \tau_{ij} $ é o efeito da interação entre os fatores;
- $ \varepsilon_{ijk} $ é o erro aleatório.
Assim, obtemos os seguintes resultados:
| G.L. | Soma de Quadrados | Quadrado Médio | Estat. F | P-valor | |
|---|---|---|---|---|---|
| Dureza | 1 | 0.3395 | 0.3395 | 3.5054 | 0.0642 |
| Ferramenta | 2 | 5.7895 | 2.8947 | 29.8913 | 0 |
| Dureza:Ferramenta | 1 | 0.481 | 0.481 | 4.9665 | 0.0282 |
| Resíduos | 95 | 9.2 | 0.0968 |
Tabela 9.7.7: Tabela da ANOVA
| GL | Soma de Quadrados | Quadrado Médio | Estat. F | P-valor | |
|---|---|---|---|---|---|
| Dureza | 1 | 0.3395 | 0.3395 | 3.5054 | 0.0642 |
| Ferramenta | 2 | 5.7895 | 2.8947 | 29.8913 | 0 |
| Dureza:Ferramenta | 1 | 0.481 | 0.481 | 4.9665 | 0.0282 |
| Resíduos | 95 | 9.2 | 0.0968 | ||
| Falta de Ajuste | 0 | 0 | |||
| Erro Puro | 95 | 9.2 | 0.0968 |
Tabela 9.7.8: Teste de Falta de Ajuste.
Figura 9.7.6: Papel de Probabilidade.
Aplicação 3 - Programa de Recompensas de Cartão de Crédito
Em uma pesquisa de satisfação, 10 clientes opinaram sobre 4 programas de recompensas de cartão de crédito emitindo uma nota para cada programa. Os programas avaliados foram:
- Programa de prêmios: clientes concorrem a prêmios semanais e mensais em dinheiro;
- Programa de incentivo a compras: pontos acumulados que se transformam em compras grátis em grandes redes comerciais;
- Programa de incentivo a viagens: compras viram pontos e dão direitos a passagens aéreas;
- Programa de incentivo ao carro 0km: as compras transformam-se em descontos na compra de um carro 0km.
| Programas | Notas |
|---|---|
| 1 | 8 |
| 1 | 9 |
| 1 | 8 |
| 1 | 10 |
| 1 | 7 |
| 1 | 8 |
| 1 | 9 |
| 1 | 9 |
| 1 | 8 |
| 1 | 9 |
| 2 | 7 |
| 2 | 6 |
| 2 | 8 |
| 2 | 8 |
| 2 | 7 |
| 2 | 6 |
| 2 | 7 |
| 2 | 8 |
| 2 | 9 |
| 2 | 6 |
| 3 | 5 |
| 3 | 8 |
| 3 | 6 |
| 3 | 9 |
| 3 | 6 |
| 3 | 7 |
| 3 | 8 |
| 3 | 6 |
| 3 | 5 |
| 3 | 8 |
| 4 | 7 |
| 4 | 6 |
| 4 | 5 |
| 4 | 8 |
| 4 | 5 |
| 4 | 7 |
| 4 | 7 |
| 4 | 6 |
| 4 | 5 |
| 4 | 6 |
Tabela 9.7.9: Resultados das pesquisas de satisfação
Primeiramente, faremos o gráfico de efeitos principais e utilizamos as médias de cada nível, da seguinte forma
$$\overline{y_{i.}} =\frac{\displaystyle\sum_{j=1}^{n_i}y_{ij}}{n_i}.$$
Assim calcularemos a média em cada nível do fator Programas:
$$\overline{y_{1.}} =\frac{8+\dots+9}{10}=8,5~~ \hbox{e} ~~~\overline{y_{2.}} =\frac{7+\dots+6}{10}=7,2.$$
$$\overline{y_{3.}} =\frac{5+\dots+8}{10}=6,8~~ \hbox{e} ~~~\overline{y_{4.}} =\frac{7+\dots+6}{10}=6,2.$$
Após feitos os cálculos, obtemos os seguintes resultados:
| Programas | Média | Desvio Padrão | Limite Inferior | Limite Superior |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 8.5 | 1.0967 | 7.7966 | 9.2034 |
| 2 | 7.2 | 1.0967 | 6.4966 | 7.9034 |
| 3 | 6.8 | 1.0967 | 6.0966 | 7.5034 |
| 4 | 6.2 | 1.0967 | 5.4966 | 6.9034 |
Tabela 9.7.10: Intervalo de Confiança das Médias
Figura 9.7.7: Gráfico de Intervalo de Confiança das médias.
Modelo para os dados
Para uma boa análise é necessário descrever os dados através de um modelo apropriado. Um dos mais simples é o modelo de efeitos, descrito por:
$$y_{ij}=\mu +\alpha_i+\varepsilon_{ij} $$
em que, 1=1,…,ni e i = 1,2,…,k.
$y_{ij}$ = j-ésima observação do nível i do fator A;
$μ$ = média geral dos dados;
$ \alpha_i $ = efeito do nível i do fator;
$ε_{ij}$ = componente aleatória do erro.
A partir dos dados, utilizaremos a seguinte notação:
$ y_{i.}=\displaystyle \sum_{j=1}^{n_{i}} y_{ij} $: soma das observações do nível i do fator Programa,
$ \overline{y_{i.}}=\cfrac{\displaystyle\sum_{j=1}^{n_{i}} y_{ij}}{\displaystyle n_{i}} $: média das observações do nível i do fator Programa,
$ y_{..}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n_{i}}y_{ij} $: soma de todas as observações, e
$ \overline{y_{..}}=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n_{i}} y_{ij}}{\displaystyle N} $: média geral das observações,
sendo $ N=\displaystyle\sum_{i=1}^{k} n_{i}, $ total de observações.
Assim, obtemos os seguintes resultados:
| G.L. | Soma de Quadrados | Quadrado Médio | Estado. F | P-valor | |
|---|---|---|---|---|---|
| Programas | 3 | 28.475 | 9.4917 | 7.8915 | 0.0004 |
| Resíduos | 36 | 43.3 | 1.2028 |
Figura 9.7.11: Tabela da ANOVA um fator.
Adotando um nível de significância 0,05 (5%), rejeitamos a hipótese nula, ou seja, detectamos uma diferença significativa entre as notas em função do programa de recompensas do cartão de crédito.
Figura 9.7.8: Gráfico de Resíduos.
Avaliamos a normalidade dos resíduos através do gráfico “papel de probabilidade” e do teste de Anderson-Darling. No nosso caso, tomamos como hipótese nula a normalidade dos resíduos, e utilizamos a estatística de Anderson-Darling para testar esta hipótese. Para o exemplo, como o P-valor é alto (aproximadamente 0,17) não rejeitamos a hipótese de normalidade dos resíduos.
Agora, faremos a comparação múltiplas dos níveis do fator programa de recompensa usando o teste de HSU.
| Nível | Média | Limite Inferior | Limite Superior |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.3 | 0 | 2.347 |
| 2 | -1.3 | -2.347 | 0 |
| 3 | -1.7 | -2.747 | 0 |
| 4 | -2.3 | -3.347 | 0 |
Tabela 9.7.12: TESTE HSU: Maior é o melhor
Figura 9.7.9: Intervalos de Confiança
Como o intervalo de confiança referente ao programa 1, possui grandes partes dos valores positivos, podemos dizer que ele é o melhor entre os demais.
Aplicação 4 - Efeito na engorda de tilápias
Uma empresa deseja testar o efeito de duas diferentes dietas no desempenho de tilápias na engorda. Os peixes foram divididos aleatoriamente em 40 gaiolas e submetidos a dieta durante 90 dias.
- Ração: Ração A e ração B;
- Tamanho: Peixes pequenos e peixes grandes;
- Densidade: Gaiolas com 102 (1) e 150 (2) peixes.
As gaiolas foram montadas com duas quantidades de peixes diferentes, considere: densidade 1 – 102 peixes; densidade 2 – 150 peixes.
A variável resposta é o peso médio por peixe ganho durante os 90 dias em que foram submetidos à dieta.
| Raçao | Tamanho | Densidade | Peso_médio |
|---|---|---|---|
| A | Small | 1 | 444,4 |
| B | Small | 1 | 326,5 |
| B | Big | 1 | 371,2 |
| A | Big | 1 | 439,3 |
| B | Small | 2 | 364,6 |
| A | Small | 2 | 432,0 |
| A | Big | 2 | 517,8 |
| B | Big | 2 | 451,5 |
| A | Small | 1 | 447,6 |
| B | Small | 1 | 350,8 |
| B | Big | 1 | 407,6 |
| A | Big | 1 | 455,6 |
| B | Small | 2 | 388,0 |
| A | Small | 2 | 472,6 |
| A | Big | 2 | 566,0 |
| B | Big | 2 | 435,7 |
| A | Small | 1 | 412,2 |
| B | Small | 1 | 366,5 |
| B | Big | 1 | 379,0 |
| A | Big | 1 | 488,6 |
| B | Small | 2 | 395,1 |
| A | Small | 2 | 544,2 |
| A | Big | 2 | 500,6 |
| B | Big | 2 | 497,0 |
| A | Small | 1 | 453,2 |
| B | Small | 1 | 327,3 |
| B | Big | 1 | 395,4 |
| A | Big | 1 | 470,6 |
| B | Small | 2 | 413,1 |
| A | Small | 2 | 475,5 |
| A | Big | 2 | 553,1 |
| B | Big | 2 | 427,4 |
| A | Small | 1 | 453,7 |
| B | Small | 1 | 381,8 |
| B | Big | 1 | 398,5 |
| A | Big | 1 | 449,3 |
| B | Small | 2 | 437,9 |
| A | Small | 2 | 484,5 |
| A | Big | 2 | 493,2 |
| B | Big | 2 | 472,3 |
Tabela 9.7.13: Peso médio das tilápias de acordo com a dieta
Primeiramente, a fim de conhecer melhor o comportamento dos dados em estudo, faremos a combinação de todos os fatores, com isso identificamos que há 8 possíveis combinações e 5 réplicas.
Figura 9.7.10: Combinações dos Fatores
Para conhecer melhor os dados faremos uma análise gráfica, dessa forma poderemos verificar se graficamente há diferença entre as rações.
Figura 9.7.11: Boxplot do Fator Ração
Em seguida, faremos o gráfico de interações a fim de verificar a existência das mesmas.
Figura 9.7.12: Gráfico de Interações
Agora, faremos um gráfico de efeitos principais para nos ajudar a detectar o efeito de cada fator individualmente, isto é, verificar em qual nível do fator o efeito é mais evidente.
Figura 9.7.13: Gráfico de Efeitos Principais
Modelo para os dados
Nessa análise consideramos Ração, Tamanho e Densidade como variáveis de entrada e Peso médio como variável de saída. Dessa forma obtemos o modelo abaixo:
$$y_{ijlk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\gamma_l+\alpha\beta_{ij}+\alpha\gamma_{il}+\beta\gamma_{jl}+\alpha\beta\gamma_{ijl}+\varepsilon_{ijlk}~~~~~~~~\begin{cases} i = 1, 2,…, a ~~~ \hbox{Fator Ração} \cr j = 1, 2, …, b ~~~ \hbox{Fator Tamanho} \cr l = 1, 2, …, c ~~~ \hbox{Fator Densidade} \cr k = 1, 2, …, r~~~ \hbox{Réplica} \end{cases}$$
Em que:
$ \mu $ é a média geral;
$ \alpha_i $ é o efeito do Fator Ração;
$ \beta_j $ é o efeito do Fator Tamanho;
$ \gamma_l $ é o efeito do Fator Densidade;
$ \alpha\beta_{ij} $ é o efeito da interação entre os fatores Ração e Tamanho;
$ \alpha\gamma_{il} $ é o efeito da interação entre os fatores Ração e Densidade;
$ \beta\gamma_{jl} $ é o efeito da interação entre os fatores Tamanho e Densidade;
$ \alpha\beta\gamma_{ijl} $ é o efeito da interação entre os fatores Ração, Tamanho e Densidade;
$ \varepsilon_{ijlk} $ é o erro aleatório.
Temos por interesse verificar se os dois diferentes tipos de rações tem impacto semelhante no desempenho das tilápias na engorda. Dessa forma, a partir do modelo proposto, definimos as hipóteses como:
$$ \begin{cases} H_0: \hbox{As rações são iguais} \cr H_1: \hbox{As rações são diferentes}\end{cases}$$
Assim obtemos os seguintes resultados:
| G.L. | Soma de Quadrados | Quadrado Médio | Estat. F | P-valor | |
|---|---|---|---|---|---|
| Racao | 1 | 61371.556 | 61371.556 | 86.2741 | 0 |
| Tamanho | 1 | 15928.081 | 15928.081 | 22.3912 | 0 |
| Densidade | 1 | 30415.225 | 30415.225 | 42.7567 | 0 |
| Racao:Tamanho | 1 | 720.801 | 720.801 | 1.0133 | 0.3217 |
| Racao:Densidade | 1 | 70.225 | 70.225 | 0.0987 | 0.7554 |
| Tamanho:Densidade | 1 | 1166.4 | 1166.4 | 1.6397 | 0.2096 |
| Racao:Tamanho:Densidade | 1 | 46.656 | 46.656 | 0.0656 | 0.7995 |
| Resíduos | 32 | 22763.38 | 711.3556 |
Tabela 9.7.14: Tabela da ANOVA
Podemos notar que as interações não são significativas, como já havia sido observado através da análise gráfica, dessa forma deveremos repetir o processo, agora desconsiderando as interações.
| G.L. | Soma de Quadrados | Quadrado Médio | Estat. F | P-valor | |
|---|---|---|---|---|---|
| Racao | 1 | 61371.556 | 61371.556 | 89.2048 | 0 |
| Tamanho | 1 | 15928.081 | 15928.081 | 23.1518 | 0 |
| Densidade | 1 | 30415.225 | 30415.225 | 44.2091 | 0 |
| Resíduos | 36 | 24767.462 | 687.9851 |
Tabela 9.7.15: Tabela da ANOVA sem as interações
Verificaremos se as suposições necessárias para a ANOVA são atendidas.
Figura 9.7.14: Análise dos Resíduos
Em seguida calcularemos o intervalo de confiança de 95% para a média do i-ésimo nível do fator.
| Nível | Limite Inferior | Efeito para média | Limite Superior |
|---|---|---|---|
| A | 465.8051 | 477.7 | 489.5949 |
| B | 387.4651 | 399.36 | 411.2549 |
Tabela 9.7.16: Intervalo de confiança do Efeito Ração
| Nível | Limite Inferior | Efeito para média | Limite Superior |
|---|---|---|---|
| Big | 446.5901 | 458.485 | 470.3799 |
| Small | 406.6801 | 418.575 | 430.4699 |
Tabela 9.7.17: Intervalo de confiança do Efeito Tamanho
| Nível | Limite Inferior | Efeito para média | Limite Superior |
|---|---|---|---|
| 1 | 399.0601 | 410.955 | 422.8499 |
| 2 | 454.2101 | 466.105 | 477.9999 |
Tabela 9.7.18: Intervalo de confiança do Efeito Densidade
Agora calcularemos o intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias no fator Ração.
$$\overline{y_{i…}}-\overline{y_{l…}}-t_{(1-{\frac{\alpha}{2} };abc(r-1))}*\sqrt{\frac{2*QME}{abr} }~~\leq~~\mu_{i…}-\mu_{l…}~~\leq~~\overline{y_{i…}}-\overline{y_{l…}}+t_{(1-{\frac{\alpha}{2} };abc(r-1))}*\sqrt{\frac{2*QME}{abr}}$$
$$477,69-399,36-t_{(0,975;32)}*\sqrt{\frac{2*687,95}{20} }~~\leq~~\mu_{1}-\mu_{2}~ \leq ~477,69-399,36-t_{(0,975;32)}*\sqrt{\frac{2*687,95}{20}}$$
$$61,44~~\leq~~\mu_{1}-\mu_{2}~ \leq ~95,22$$
Em que:
$ \mu_{1}= $ Média geral dos dados + efeito do nível 1 do fator Ração
$ \mu_{2}= $ Média geral dos dados + efeito do nível 2 do fator Ração
Através dos resultados apresentados é possível notar que a Ração proporciona diferença no desempenho das tilápias na engorda, sendo que a diferença de peso varia entre 61,44 e 95,22.
Por fim, baseados nas análises apresentadas, podemos afirmar que:
- A Ração que proporciona melhor desempenho na engorda das tilápias é a Ração A.
Aplicação 5 - Comparação de rações em cães
Uma empresa deseja testar a diferença entre dois tipos de ração para cães. 24 animais seguiram a dieta e foram avaliados durante 6 dias. Nos primeiros 3 dias foi oferecido um tipo de ração e nos últimos 3 dias outro tipo.
| Animal | Raçao | Sequencia | Período | Consumido |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | AB | 1 | 99,65 |
| 2 | 1 | AB | 1 | 43,97 |
| 3 | 1 | AB | 1 | 68,65 |
| 4 | 1 | AB | 1 | 77,50 |
| 5 | 1 | AB | 1 | 100,00 |
| 6 | 1 | AB | 1 | 100,00 |
| 7 | 1 | AB | 1 | 97,47 |
| 8 | 1 | AB | 1 | 29,58 |
| 9 | 1 | AB | 1 | 100,00 |
| 10 | 1 | AB | 1 | 100,00 |
| 11 | 1 | AB | 1 | 100,00 |
| 12 | 1 | AB | 1 | 31,62 |
| 13 | 2 | BA | 1 | 100,00 |
| 14 | 2 | BA | 1 | 45,73 |
| 15 | 2 | BA | 1 | 61,56 |
| 16 | 2 | BA | 1 | 99,40 |
| 17 | 2 | BA | 1 | 36,77 |
| 18 | 2 | BA | 1 | 100,00 |
| 19 | 2 | BA | 1 | 100,00 |
| 20 | 2 | BA | 1 | 100,00 |
| 21 | 2 | BA | 1 | 89,78 |
| 22 | 2 | BA | 1 | 74,10 |
| 23 | 2 | BA | 1 | 37,09 |
| 24 | 2 | BA | 1 | 36,08 |
| 1 | 2 | AB | 2 | 100,00 |
| 2 | 2 | AB | 2 | 0,00 |
| 3 | 2 | AB | 2 | 44,97 |
| 4 | 2 | AB | 2 | 43,15 |
| 5 | 2 | AB | 2 | 100,00 |
| 6 | 2 | AB | 2 | 100,00 |
| 7 | 2 | AB | 2 | 100,00 |
| 8 | 2 | AB | 2 | 16,49 |
| 9 | 2 | AB | 2 | 100,00 |
| 10 | 2 | AB | 2 | 100,00 |
| 11 | 2 | AB | 2 | 100,00 |
| 12 | 2 | AB | 2 | 19,10 |
| 13 | 1 | BA | 2 | 0,00 |
| 14 | 1 | BA | 2 | 80,80 |
| 15 | 1 | BA | 2 | 66,98 |
| 16 | 1 | BA | 2 | 100,00 |
| 17 | 1 | BA | 2 | 16,94 |
| 18 | 1 | BA | 2 | 100,00 |
| 19 | 1 | BA | 2 | 100,00 |
| 20 | 1 | BA | 2 | 100,00 |
| 21 | 1 | BA | 2 | 100,00 |
| 22 | 1 | BA | 2 | 75,09 |
| 23 | 1 | BA | 2 | 28,18 |
| 24 | 1 | BA | 2 | 13,07 |
Tabela 9.7.19: Resultado das dietas dos animais
O modelo estatístico para este planejamento é
$$y_{ijk} = \mu + S_{ik} + \pi_j + \tau_d{}_{[i,j]} +\lambda_d{}_{[i,j-1]}~+~ \varepsilon_{ijk} ~~~~~\begin{cases} i = 1, \cdots, s~~ \hbox{(Sequência)} \cr j = 1, \cdots, p~~ \hbox{(Período)} \cr k = 1, \cdots,n_i~~ \hbox{(Indivíduo)} \end{cases}$$
Em que:
$ y_{ijk} $ representa a resposta do k-ésimo indivíduo na i-ésima sequência no j-ésimo período;
$ \mu $ é uma média geral;
$ S_{ik} $ é o efeito aleatório do k-ésimo indivíduo na sequência $ i $;
$ \pi_j $ é o efeito do período $ j $, com $ \sum_{j=1}^{p}\pi_j=0 $;
$ \tau_{d[i,j]} $ é o efeito direto do tratamento administrado no período $ j $ da sequência $ i $ (Efeito da Ração), com $ \sum\tau_d{}_{[i,j]}=0 $;
$ \lambda_{d[i,j-1]} $ é o efeito direto do tratamento administrado no período $ j-1 $ da sequência $ i $ (Efeito Carry-over), com $ \sum \tau_{d[i,j-1]}=0 $;
$ \varepsilon_{ijk} $ é o erro aleatório para o k-ésimo indivíduo no j-ésimo período na i-ésima sequência.
Estamos interessados emverificar se duas rações desenvolvidas para cães se diferem em relação ao consumo. Dessa forma, a partir do modelo proposto, definimos as hipóteses como:
$$ \begin{cases} H_0: F_A = F_B \cr H_1: F_A \neq F_B \end{cases} ~~~~ \hbox{Para testar o efeito da ração}$$
Considerando o modelo e as hipóteses apresentadas calculamos:
$$SQ_{\hbox{carry-over}}=\frac{2*12*12}{(12+12)}\left(73,84-69,23\right)^2=255,02$$
$$SQ_{\hbox{inter}}=291538,4-245888,8=45649,6$$
$$SQ_{\hbox{ração}}=\frac{12*12}{2(12+12)}\left(79,04-68,64-73,38+65,09\right)^2=13,31$$
$$SQ_{\hbox{período}}=\frac{12*12}{2(12+12)}\left(79,04-68,64+73,38-65,09\right)^2=1047,01$$
$$SQ_{\hbox{intra}}=299726-291538,4-13,31-1047,01=7127,332$$
$$QM_{\hbox{carry-over}}=\frac{255,02}{1}=255,02$$
$$QM_{\hbox{inter}}=\frac{45649,6}{12+12-2}=2074,98$$
$$QM_{\hbox{ração}}=\frac{13,31}{1}=13,31$$
$$QM_{\hbox{período}}=\frac{1047,01}{1}=1047,01$$
$$QM_{\hbox{intra}}=\frac{7127,332}{12+12-2}=323,96$$
$$F_0=\frac{255,02}{2074,98}=0,1229$$
$$F_0=\frac{13,31}{323,96}=0,0410$$
$$F_0=\frac{1047,01}{323,96}=3,2318$$
Substituindo os resultados encontrados na tabela da ANOVA, temos:
| Fator | Graus de Liberdade | Soma de Quadrados | Quadrados Médios | F |
|---|---|---|---|---|
| entre | ||||
| carry-over | 1 | 255,02 | 255,02 | 0,12 |
| inter | 22 | 45649,6 | 2074,98 | |
| dentro | ||||
| ração | 1 | 13,31 | 13,31 | 0,04 |
| período | 1 | 1047,01 | 1047,01 | 3,23 |
| intra | 22 | 7127,33 | 323,96 | |
| Total | 47 |
Tabela 9.7.20: Tabela da ANOVA
Calculamos o intervalo de confiança para $ \mu_l $.
Para $ l = A, B $ temos que:
- Para $ \mu_A $.
Sabemos que $ \bar{y}_A=72,06 $, $ n_1=12 $, $ n_2=12 $, $ QM_{\hbox{intra}}=323,96 $ e para $ \alpha=5 \char37 $ temos que $ t_{(\frac{\alpha}{2},22)}=2,074 $. Então, o intervalo é
$$\left(64,44;79,68\right)$$
- Para $ \mu_T $.
Sabemos que $ \bar{y}_T =71,01 $, $n_1=12 $, $n_2=12 $, $ QM_{\hbox{intra}}=323,96 $ e para $ \alpha=5 \char37 $ temos que $ t_{(\frac{\alpha}{2},22)}=2,074 $. Então, o intervalo é
$$\left(63,39;78,63\right)$$
Agora calculamos o intervalo de confiança para $ (F_A-F_B) $.
Sabemos que $ \bar{y}_A=72,06 $, $ \bar{y}_B=71,01 $, $ n_1=12 $, $ n_2=12 $, $ QM_{\hbox{intra}}=323,96 $ e para $ \alpha=5 \char37 $ temos que $ t_{(\frac{\alpha}{2},22)}=2,074 $. Então, o intervalo é
$$\left(-6,57;8,67\right)$$