1.7 Plano de determinação
A utilização de uma amostra em um determinado estudo implica, inevitavelmente, na aceitação de uma margem de erro, que denominamos erro amostral. Não é possível evitar a ocorrência do erro amostral, no entanto podemos limitar o seu valor escolhendo uma amostra de tamanho adequado.
Dessa forma, o plano de determinação é usado quando desejamos determinar o tamanho da amostra (n) que nos assegura uma probabilidade de erro adequada.
Suponha que $B_{q}$ seja o tempo para o qual q×100% das peças em um estudo falham. Queremos, então, determinar uma estratégia para avaliar se um determinado produto atende ao requisito $B_{q}$.
Para isso, devemos considerar as seguintes suposições:
-
Ensaiar n peças por t unidades de tempo;
-
O produto atende ao requisito $B_{q}$ se nenhuma peça falhar durante o ensaio, ou seja, “zero defeito”.
A questão agora é como determinar o tamanho da amostra n que nos assegura uma probabilidade de erro adequada. Para isso, consideramos dois possíveis casos que são apresentados a seguir.
Caso 1: Ensaiar o produto por t = $B_{q}$ unidades de tempo
Para tratar este caso, definimos as seguintes hipóteses:
$$\begin{cases} H_{0}:~\hbox{o produto não atende ao requisito}~B_q \cr H_{1}:~\hbox{o produto atende ao requisito}~B_q.\end{cases} \tag{7.1}$$
Como cada produto pode falhar ou não durante o ensaio, a distribuição binomial é um bom modelo probabilístico para determinarmos o tamanho da amostra.
Consideramos n peças em estudo e para cada peça associamos uma variável aleatória $X_{i}$ tal que
$$\begin{cases} X_{i}=1,~\hbox{se o produto } i \hbox{ falhar} \cr X_{i}=0,~\hbox{se o produto $i$ não falhar}.\end{cases}$$
Neste caso obtemos que $X_i \sim \hbox{Bernoulli(p)}$.
Consideramos agora uma variável Y que denota o número de peças que falharam durante o ensaio. Com isso, obtemos que $Y \sim \hbox{Binomial(n, p)}$, em que p representa a probabilidade real de defeitos no tempo especificado $(B_{q})$.
Dessa forma, podemos reescrever as hipóteses (7.1) como
$$\begin{cases} H_{0}:~p \geq q,~~~~\hbox{não atende ao requisito} \cr H_{1}:~p~<~ q,~~~~\hbox{atende ao requisito}.\end{cases}$$
A probabilidade do erro do Tipo I é dada por
$$\alpha = {P}[\hbox{rejeitar}~H_{0}~|~H_{0}~\hbox{verdadeiro}]$$
Então, considerando que o produto atende ao requisito $B_{q}$ se nenhuma peça falhar durante o ensaio (zero defeito) temos
$$\alpha = {P}[\hbox{zero~defeito}~|~p = q] = \binom{n}{0} q^0(1-q)^{n-0}.$$
Logo,
$$\alpha=(1-q)^n \Rightarrow \ln(\alpha)=n\ln(1-q).$$
Portanto, isolando n obtemos
$$n=\dfrac{\ln(\alpha)}{\ln(1-q)}.$$
Exemplo 7.1
Determinar o tamanho da amostra para avaliarmos o requisito $B_{0,1}$ = 320.000 ciclos.
Neste caso, para determinar o tamanho da amostra n basta fixarmos uma probabilidade do erro de tipo I ($\alpha$).
Assim, se considerarmos $\alpha=0,1$ obtemos
$$n =\dfrac{\ln(\alpha)}{\ln(1-q)}=\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(1-0,1)}=21,85=22.$$
Para $\alpha=0,4$ obtemos
$$n=\dfrac{\ln(\alpha)}{\ln(1-q)}=\dfrac{\ln(0,4)}{\ln(1-0,1)}=8,7=9.$$
Na Tabela 1.7.1 apresentamos os tamanhos de amostra para diferentes valores de $\alpha.$ Podemos observar que quanto maior o tamanho da amostra, menor é a probabilidade de erro.
| $ \alpha $ | n |
|---|---|
| 0,05 | 29 |
| 0,1 | 22 |
| 0,15 | 19 |
| 0,2 | 16 |
| 0,25 | 14 |
| 0,3 | 12 |
| 0,35 | 10 |
| 0,4 | 9 |
Tabela 1.7.1: Tamanhos de amostra (n) para diferentes valores de $\alpha.$
Caso 2: Ensaiar o produto por t $~\neq~$ $B_{q}$ unidades de tempo
Neste caso, ensaiamos o produto por t unidades de tempo diferente do requisito $B_{q}$. Para isso, admitimos que o tempo até a ocorrência da falha segue distribuição de Weibull(a, δ), em que δ é um parâmetro conhecido.
Dessa forma, temos
$$1-q = {P}[T \geq B_q] = \exp\left(-\left(\dfrac{B_q}{a}\right)^{\delta}\right),$$
em que T é o tempo até a ocorrência da falha.
Assim, ao isolarmos $a$ obtemos,
$$\ln(1-q)=-\left(\dfrac{B_q}{a}\right)^{\delta} \Rightarrow \ln(1-q)=-\dfrac{B_q^{\delta}}{a^{\delta}}.$$
Logo,
$$a^{\delta}=\dfrac{B_q^{\delta}}{-\ln(1-q)} \Rightarrow a=\left(\dfrac{B_q^{\delta}}{-\ln(1-q)}\right)^{1/\delta}.$$
Portanto,
$$a=\dfrac{B_q}{(-\ln(1-q))^{1/\delta}}.$$
Com o valor de $a$ obtido acima, podemos calcular a proporção esperada de falha para um determinado tempo t. Com isso, segue que
$$q_t = {P}[T~<~t]=1-\exp\left(-\left(\dfrac{t}{a}\right)^{\delta}\right),$$
sendo $q_t$ a proporção esperada de falha no tempo t.
Com este $q_t$ executamos os passos (modelo probabilístico) descritos no Caso 1 e obtemos, assim, o tamanho da amostra (n), expresso por
$$n=\dfrac{\ln(\alpha)}{\ln(1-q_t)}.$$
Exemplo 7.2
Queremos avaliar se um determinado produto atende ao requisito $B_{0,1}$ = 320.000 ciclos. Porém, vamos ensaiar o produto por t = 600.000 ciclos. Qual deve ser o tamanho da amostra?
Note que para a resolução deste problema precisamos seguir os passos descritos no Caso 2.
Assim, temos $B_{q}$ = $B_{0,1}$ = 320.000 ciclos, em que q = 0,1 = 10%. Suponha que T, o tempo até a ocorrência da falha, segue uma distribuição de Weibull com parâmetro δ = 2. Utilizando as expressões obtidas no Caso 2 temos
$$1-q = {P}[T \geq B_q]=\exp\left(-\left(\dfrac{B_q}{a}\right)^{\delta}\right).$$
Então, fazendo as devidas substituições segue que
$$1-0,1 = {P}[T \geq B_{0,1}]=\exp\left(-\left(\dfrac{320.000}{a}\right)^{2}\right).$$
Logo, isolando $a$ obtemos
$$a=\dfrac{320.000}{(-\ln(1 - 0,1))^{1/2}} = 985850,4399.$$
Com o valor de a = 985850,4399, podemos encontrar a proporção esperada de falha para o tempo t = 600.000 ciclos. Dessa forma,
$$q_t = P[T~<~t] = 1 - \exp\left(-\left(\dfrac{t}{a}\right)^{\delta}\right) = 1 - \exp\left(-\left(\dfrac{600000}{985850,4399}\right)^{2}\right) = 0,309547475.$$
Assim, se considerarmos $\alpha =0,1$ obtemos
$$n=\dfrac{\ln(\alpha)}{\ln(1-q_t)}=\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(1-0,309547475)}=6,216347115 = 7.$$
Para $\alpha =0,4$ obtemos
$$n=\dfrac{\ln(\alpha)}{\ln(1-q_t)} = \dfrac{\ln(0,4)}{\ln(1-0,309547475)}=2,473733225 = 3.$$
Na Tabela 7.2 apresentamos os tamanhos de amostra para diferentes valores de $\alpha.$ Análogo ao Caso 1, quanto maior o tamanho da amostra menor é a probabilidade de erro.
| $ \alpha $ | n |
|---|---|
| 0,05 | 9 |
| 0,1 | 7 |
| 0,15 | 6 |
| 0,2 | 5 |
| 0,25 | 4 |
| 0,3 | 4 |
| 0,35 | 3 |
| 0,4 | 3 |
Tabela 1.7.2: Tamanhos de amostra (n) para diferentes valores de $\alpha.$
Note que, seguindo o procedimento descrito pelo Caso 2 obtemos tamanhos de amostra (n) menores do que pelo Caso 1. No entanto, os dois possíveis casos são adequados para a determinação do tamanho da amostra, sendo utilizado o procedimento (Caso 1 ou Caso 2) que melhor se adapta à situação em questão.