2.5 Gráficos de Controle por Atributo
Muitas características da qualidade não podem ser expressas em termos de valores numéricos. Por exemplo, dizer se uma peça é ou não defeituosa. Características deste tipo são denominadas atributos.
a) 5.1 - Gráfico p - proporção ou fração de defeituosos
A fração de defeituosos p se define como o número de itens defeituosos (não conformes) na amostra dividido pelo número de itens da amostra. O valor amostral de p registra-se como uma fração do tamanho do subgrupo.
A fração de defeituosos p poderá estar referida a amostras de tamanhos fixos n coletadas regularmente, ou também poderá se referir ao 100% da produção num determinado intervalo de tempo (por exemplo, uma hora, um dia, etc.). Isso significa que os subgrupos podem, em princípio, ter tamanho variável. Como consequência da variabilidade do tamanho amostral os limites de controle também terão amplitude variável.
A caracterização de um item como defeituoso ou não defeituoso poderá depender da observação de uma ou de várias características de qualidade. Neste caso o item poderá ter vários tipos de defeitos, e, em muitas circunstâncias será relevante a classificação dos defeitos por importância diferenciada, sugerindo a utilização de gráficos por demérito.
Assim, podemos construir os gráficos para proporção das seguintes formas
- Tamanho amostral constante;
- Tamanho amostral variável;
- Com a média amostral ($ \overline{n} $);
- Com a média dos defeituosas ($ \overline{p} $).
A construção dos gráficos p só é possível se as seguintes condições forem satisfeitas:
$$n \ast \overline{p} \geq 5$$
$$n \ast (1-\overline{p}) \geq 5$$
1. Tamanho amostral constante
A Linha Central e os Limites de Controle são determinados, na forma:
$$LSC = p^{\prime}+3\sqrt{\dfrac{p^{\prime}(1-p^{\prime})}{n}}$$
$$LC = p^{\prime}$$
$$LIC = p^{\prime}-3\sqrt{\dfrac{p^{\prime}(1-p^{\prime})}{n}}$$
2. Tamanho amostral variável
Os limites de controle são (para a i-ésima amostra):
$$LSC = p^{\prime}+3\sqrt{\dfrac{p^{\prime}(1-p^{\prime})}{n_i}}$$
$$LIC = p^{\prime}-3\sqrt{\dfrac{p^{\prime}(1-p^{\prime})}{n_i}}$$
em que ni = tamanho da i-ésima amostra.
3. Com a média amostral ($ \overline{n} $)
Definimos
$$\overline{n} = \dfrac{(n_1 + \ldots + n_m)}{m}$$
em que ni = tamanho da i-ésima amostra e m é o número de amostras.
Os limites de controle são:
$$LSC = p^{\prime}+3\sqrt{\dfrac{p^{\prime}(1-p^{\prime})}{\overline{n}}}$$
$$LIC = p^{\prime}-3\sqrt{\dfrac{p^{\prime}(1-p^{\prime})}{\overline{n}}}$$
4. Com a média dos defeituosos ($ \overline{p} $)
Definimos
$$\overline{p} = \dfrac{(p_1 + \ldots + p_m)}{m}$$
onde pi = proporção de defeituosos na i-ésima amostra e m é o número de amostras.
Assim, os limites de controle (de amplitude 3σ ) e linha média são:
$$LSC = \overline{p} + 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n}}$$
$$LC = \overline{p}$$
$$LIC = \overline{p} - 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n}}$$
Exemplo 5.1.1
Uma fábrica de suco de laranja apresentou os seguintes dados quanto ao número de latas amassadas (defeituosas), (ver Tabela 2.5.1). Nesse exemplo temos tamanho da amostra n = 50.
| Amostras | Número de Defeituosos (Di) | Fração de Defeituosos (pi) |
|---|---|---|
| 1 | 12 | 0,24 |
| 2 | 15 | 0,30 |
| 3 | 8 | 0,16 |
| 4 | 10 | 0,20 |
| 5 | 4 | 0,08 |
| 6 | 7 | 0,14 |
| 7 | 16 | 0,32 |
| 8 | 9 | 0,18 |
| 9 | 14 | 0,28 |
| 10 | 10 | 0,20 |
| 11 | 5 | 0,10 |
| 12 | 6 | 0,12 |
| 13 | 17 | 0,34 |
| 14 | 12 | 0,24 |
| 15 | 22 | 0,44 |
| 16 | 8 | 0,16 |
| 17 | 10 | 0,20 |
| 18 | 5 | 0,10 |
| 19 | 13 | 0,26 |
| 20 | 11 | 0,22 |
| 21 | 20 | 0,40 |
| 22 | 18 | 0,36 |
| 23 | 24 | 0,48 |
| 24 | 15 | 0,30 |
| 25 | 9 | 0,18 |
| 26 | 12 | 0,24 |
| 27 | 7 | 0,14 |
| 28 | 13 | 0,26 |
| 29 | 9 | 0,18 |
| 30 | 6 | 0,12 |
Tabela 2.5.1: Latas amassadas na fábrica de suco de laranja
$$\overline{p} = \dfrac{\sum_{i=1}^{m}p_i}{m} = \dfrac{\sum_{i=1}^{30}p_i}{30} = \dfrac{6,94}{30} = 0,2313$$
Notação: Aqui consideraremos ni como sendo o tamanho de cada amostra e m o número de amostras. Para este exemplo temos ni = 50 para todo i (tamanhos iguais) e m = 30.
Verificação para grandes amostras:
$$n_i \ast \overline{p} = 50 \ast (0,2313) = 11,565 \geq 5$$
$$n_i \ast (1-\overline{p}) = 50 \ast (0,7687) = 38,435 \geq 5$$
Gráfico p
$$LSC = \overline{p} + 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,2313 + 3\sqrt{\dfrac{0,2313(1-0,2313)}{50}} = 0,41$$
$$LC = \overline{p} = 0,2313$$
$$LIC = \overline{p} - 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,2313 - 3\sqrt{\dfrac{0,2313(1-0,2313)}{50}} = 0,052$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.
| Linha de centro | Limite Inferior | Limite Superior |
|---|---|---|
| 0.2313 | 0.0524 | 0.4102 |
Tabela 2.5.2: Gráfico de proporções para o refugo
Figura 2.5.1: Gráfico p.
Verificamos, no gráfico de proporção para refugo, que os pontos 15 e 23 encontram-se fora do limite superior de controle indicando a existência de causas especiais de variação. Após a análise destes pontos eles foram retirados da amostras e novos limites de controle foram calculados.
$$\overline{p} = \dfrac{\sum_{i=1}^{28}p_i}{28} = \dfrac{6,02}{28} = 0,215$$
Com isso, os limites de controle são
$$LSC = \overline{p} + 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,215 + 3\sqrt{\dfrac{0,215(1-0,215)}{50}} = 0,389$$
$$LC = \overline{p} = 0,215$$
$$LIC = \overline{p} - 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,215 - 3\sqrt{\dfrac{0,215(1-0,215)}{50}} = 0,041$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action e o gráfico sem os pontos 15 e 23, com os limites de controle revisados.
| Linha de centro | Limite Inferior | Limite Superior |
|---|---|---|
| 0.215 | 0.0407 | 0.3893 |
Tabela 2.5.3: Gráfico de proporções para o refugo (sem os pontos 15 e 23)
Figura 2.5.2: Gráfico p, com os limites revisados.
Podemos notar que, apesar da retirada dos pontos fora dos limites de controle e o cálculo dos limites de controle revisados, ainda existe um ponto fora dos novos limites indicando a presença de causa especial de variação. Após a tomada de uma ação para a correção dessa causa especial, novos dados foram coletados e um novo gráfico foi gerado. Estes novos dados são mostrados na tabela a seguir.
| Amostras | Defeituosos | Fração de Defeituosos (pi) |
|---|---|---|
| 31 | 9 | 0,18 |
| 32 | 6 | 0,12 |
| 33 | 12 | 0,24 |
| 34 | 5 | 0,1 |
| 35 | 6 | 0,12 |
| 36 | 4 | 0,08 |
| 37 | 5 | 0,1 |
| 38 | 3 | 0,06 |
| 39 | 7 | 0,14 |
| 40 | 6 | 0,12 |
| 41 | 2 | 0,04 |
| 42 | 4 | 0,08 |
| 43 | 3 | 0,06 |
| 44 | 6 | 0,12 |
| 45 | 5 | 0,1 |
| 46 | 4 | 0,08 |
| 47 | 8 | 0,16 |
| 48 | 5 | 0,1 |
| 49 | 6 | 0,12 |
| 50 | 7 | 0,14 |
| 51 | 5 | 0,1 |
| 52 | 6 | 0,12 |
| 53 | 3 | 0,06 |
| 54 | 4 | 0,08 |
Tabela 2.5.3: Dados adicionais
$$\overline{p} = \dfrac{\sum_{i=1}^{24}p_i}{24} = \dfrac{2,62}{24} = 0,10917$$
Assim, os limites de controle para os novos dados são
$$LSC = \overline{p} + 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,10917 + 3\sqrt{\dfrac{0,10917(1-0,10917)}{50}} = 0,24147$$
$$LC = \overline{p} = 0,10917$$
$$LIC = \overline{p} - 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,10917 - 3\sqrt{\dfrac{0,10917(1-0,10917)}{50}} = 0$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action.
| Linha de centro | Limite Inferior | Limite Superior |
|---|---|---|
| 0.1092 | 0 | 0.2415 |
Tabela 2.5.4: Gráfico de proporções para o refugo (dados adicionais)
Figura 2.5.3: Gráfico p, com dados adicionados.
Podemos verificar no gráfico da Figura 2.5.3 que, após a ação sobre a causa especial de variação seguida da coleta de novos dados o processo encontra-se sob controle estatístico.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
Exemplo 5.1.2
Temos a seguir dados sobre defeitos de inclusão de areia de moldes de eixo-comando.
| Amostras | Total Fundido (ni) | Defeitos de inclusão (Di) |
|---|---|---|
| 1 | 1536 | 33 |
| 2 | 1536 | 49 |
| 3 | 1536 | 31 |
| 4 | 1536 | 52 |
| 5 | 1536 | 30 |
| 6 | 1536 | 26 |
| 7 | 1520 | 51 |
| 8 | 1488 | 25 |
| 9 | 1344 | 41 |
| 10 | 944 | 18 |
| 11 | 1152 | 22 |
| 12 | 1152 | 13 |
| 13 | 1683 | 13 |
| 14 | 1700 | 25 |
| 15 | 1700 | 62 |
| 16 | 1870 | 15 |
| 17 | 1140 | 30 |
| 18 | 1152 | 26 |
| 19 | 1140 | 4 |
| 20 | 1128 | 23 |
| 21 | 1152 | 10 |
| 22 | 1128 | 6 |
| 23 | 1152 | 21 |
| 24 | 1152 | 21 |
| 25 | 1152 | 7 |
| 26 | 1152 | 22 |
| 27 | 1152 | 23 |
| 28 | 1140 | 16 |
| 29 | 1140 | 15 |
| 30 | 1128 | 18 |
Tabela 2.5.5: Defeitos de inclusão de areia
Notação: Aqui consideraremos ni como sendo o tamanho de cada amostra e n o número de amostras. Para este exemplo, ni assume valores diferentes para cada amostra e n = 30.
Gráfico p
Calculamos agora o Limite Superior e o Limite Inferior para a primeira amostra (Amostra 1) em que ni = 1536.
$$LC = \overline{p} = \dfrac{\sum_{i=1}^{30}Di}{\sum_{i=1}^{30}ni} = \dfrac{748}{39777} = 0,018804$$
$$LSC = \overline{p} + 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,018804 + 3\sqrt{\dfrac{0,018804(1-0,018804)}{1536}} = 0,02920$$
$$LIC = \overline{p} - 3\sqrt{\dfrac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_i}} = 0,018804 - 3\sqrt{\dfrac{0,018804(1-0,018804)}{1536}} = 0,00841$$
O mesmo procedimento deve ser feito para todas as outras amostras.
A seguir apresentamos os resultados obtidos pelo Software Action para todas essas amostras.
| Linha de centro | Limite Inferior | Limite Superior | Fração de Defeituosos |
|---|---|---|---|
| 0.0188048 | 0.0084071 | 0.0292026 | 0.0214844 |
| 0.0188048 | 0.0084071 | 0.0292026 | 0.031901 |
| 0.0188048 | 0.0084071 | 0.0292026 | 0.0201823 |
| 0.0188048 | 0.0084071 | 0.0292026 | 0.0338542 |
| 0.0188048 | 0.0084071 | 0.0292026 | 0.0195312 |
| 0.0188048 | 0.0084071 | 0.0292026 | 0.0169271 |
| 0.0188048 | 0.0083525 | 0.0292571 | 0.0335526 |
| 0.0188048 | 0.0082407 | 0.0293689 | 0.0168011 |
| 0.0188048 | 0.0076892 | 0.0299205 | 0.030506 |
| 0.0188048 | 0.0055417 | 0.032068 | 0.0190678 |
| 0.0188048 | 0.0067986 | 0.0308111 | 0.0190972 |
| 0.0188048 | 0.0067986 | 0.0308111 | 0.0112847 |
| 0.0188048 | 0.0088716 | 0.0287381 | 0.0077243 |
| 0.0188048 | 0.0089214 | 0.0286883 | 0.0147059 |
| 0.0188048 | 0.0089214 | 0.0286883 | 0.0364706 |
| 0.0188048 | 0.0093813 | 0.0282284 | 0.0080214 |
| 0.0188048 | 0.0067356 | 0.0308741 | 0.0263158 |
| 0.0188048 | 0.0067986 | 0.0308111 | 0.0225694 |
| 0.0188048 | 0.0067356 | 0.0308741 | 0.0035088 |
| 0.0188048 | 0.0066715 | 0.0309381 | 0.0203901 |
| 0.0188048 | 0.0067986 | 0.0308111 | 0.0086806 |
| 0.0188048 | 0.0066715 | 0.0309381 | 0.0053191 |
| 0.0188048 | 0.0067986 | 0.0308111 | 0.0182292 |
| 0.0188048 | 0.0067986 | 0.0308111 | 0.0182292 |
| 0.0188048 | 0.0067986 | 0.0308111 | 0.0060764 |
| 0.0188048 | 0.0067986 | 0.0308111 | 0.0190972 |
| 0.0188048 | 0.0067986 | 0.0308111 | 0.0199653 |
| 0.0188048 | 0.0067356 | 0.0308741 | 0.0140351 |
| 0.0188048 | 0.0067356 | 0.0308741 | 0.0131579 |
| 0.0188048 | 0.0066715 | 0.0309381 | 0.0159574 |
Tabela 2.5.6: Gráfico de proporções para o refugo
Figura 2.5.4: Gráfico p.
Podemos verificar no gráfico da Figura 2.5.4 a existência de vários pontos fora do limite de controle indicando que o processo não está sob controle estatístico.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
b) 5.2 - Gráfico np - número de defeituosos
O número de defeituosos np se define como o número de itens defeituosos (não conformes) na amostra. A construção dos gráficos np tem por base a distribuição binomial, e este gráfico de controle só pode ser construído quando lidamos com amostras de tamanhos iguais (n). Os Limites de Controle são obtidos diretamente da carta p e estão descritos a seguir:
$$LSC = np + 3\sqrt{np(1 - p)};$$
$$LC = np;$$
$$LIC = np - 3\sqrt{np(1 - p)}.$$
Observe que os limites de contole do gráfico np são os limites de controle do gráfico p multiplicado pelo tamanho da amostra “n”.
Exemplo 5.2.1
Ilustraremos a aplicação da carta np com os dados do Exemplo 5.1.1.
$$LSC = np + 3\sqrt{np(1 - p)} = 50 \ast 0,2313 + 3\sqrt{(50 \ast 0,2313) \ast (0,7687)} = 20,51$$
$$LC = np = 11,57$$
$$LIC = np - 3\sqrt{np(1 - p)} = 50 \ast 0,2313 - 3\sqrt{(50 \ast 0,2313) \ast (0,7687)} = 2,62$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.
| Linha de centro | Limite Inferior | Limite Superior |
|---|---|---|
| 11.5666667 | 2.6213774 | 20.5119559 |
Tabela 2.5.7: Gráfico NP Para o refugo
Figura 2.5.5: Gráfico np.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
c) 5.3 - Gráfico c - número de defeitos por amostra
Dependendo do tipo de produto é mais natural considerar o número de defeitos por unidade amostral e não o número de itens defeituosos. Cada unidade pode consistir de vários itens, isto é, ela pode ser definida como sendo um subgrupo de itens. O essencial é que nas diferentes unidades amostrais exista a mesma chance de ocorrerem defeitos.
O gráfico c é empregado considerando o número de defeitos por subgrupos, quando todos estes subgrupos forem do mesmo tamanho, isto é, tiverem o mesmo número de itens.
Duas situações onde o gráfico c é tipicamente aplicável:
- Quando os defeitos estão distribuídos num fluxo mais ou menos contínuo de algum produto onde poder-se-ia definir o número médio de defeitos;
- Quando defeitos de diferentes tipos e origens podem ser encontrados na unidade amostral.
Os limites de controle são:
$$LSC = \overline{c} + 3\sqrt{\overline{c}}$$
$$LC = \overline{c}$$
$$LIC = \overline{c} - 3\sqrt{\overline{c}}$$
em que $ \overline{c} = \dfrac{(c_1 + c_2 + \ldots + c_k)}{k} $, sendo que $ c_1, c_2, \ldots, c_k $ são o número de defeitos em cada um dos k subgrupos.
Exemplo 5.3.1
A Tabela 2.5.8 apresenta o número de não-conformidades observadas em 26 amostras sucessivas de 100 circuitos impressos. Note que por comodidade limitou-se em 100 o número de não-conformidades possíveis, desta forma temos 26 amostras com 516 não-conformidades.
| Amostra | Não conformidades | Fração de defeituosos |
|---|---|---|
| 1 | 21 | 0,21 |
| 2 | 24 | 0,24 |
| 3 | 16 | 0,16 |
| 4 | 12 | 0,12 |
| 5 | 15 | 0,15 |
| 6 | 5 | 0,05 |
| 7 | 28 | 0,28 |
| 8 | 20 | 0,2 |
| 9 | 31 | 0,31 |
| 10 | 25 | 0,25 |
| 11 | 20 | 0,2 |
| 12 | 24 | 0,24 |
| 13 | 16 | 0,16 |
| 14 | 19 | 0,19 |
| 15 | 10 | 0,1 |
| 16 | 17 | 0,17 |
| 17 | 13 | 0,13 |
| 18 | 22 | 0,22 |
| 19 | 18 | 0,18 |
| 20 | 39 | 0,39 |
| 21 | 30 | 0,3 |
| 22 | 24 | 0,24 |
| 23 | 16 | 0,16 |
| 24 | 19 | 0,19 |
| 25 | 17 | 0,17 |
| 26 | 15 | 0,15 |
Tabela 2.5.8: Dados dos circuitos impressos.
$$\overline{c} = \dfrac{516}{26} = 19,85$$
Desta forma os limites de controle são dados pela seguinte forma
$$LSC = \overline{c} + 3\sqrt{\overline{c}} = 19,85 + 3\sqrt{19,85} = 33,216$$
$$LC = \overline{c} = 19,85$$
$$LIC = \overline{c} - 3\sqrt{\overline{c}} = 19,85 - 3\sqrt{19,85} = 6,48$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.
| Linha de centro | Limite Inferior | Limite Superior |
|---|---|---|
| 19.8461538 | 6.4814472 | 33.2108605 |
Tabela 2.5.9: Gráfico C Para o refugo
Figura 2.5.6: Carta de controle.
Após avaliar a carta de controle (Figura 2.5.6), o engenheiro responsável pelo controle de qualidade do setor constatou que existem dois pontos fora de controle. Então foi verificado que a máquina estava descalibrada, foi então proposto que fossem removidas do conjunto de dados as observações 6 e 20 e revisados os limites de controle.
$$\overline{c} = \dfrac{472}{24} = 19,67$$
Desta forma temos os limites de controle:
$$LSC = \overline{c} + 3\sqrt{\overline{c}} = 19,67 + 3\sqrt{19,67} = 32,97$$
$$LC = \overline{c} = 19,67$$
$$LIC = \overline{c} - 3\sqrt{\overline{c}} = 19,67 - 3\sqrt{19,67} = 6,36$$
Logo, a carta de controle com os limites de controle ajustados é dada na Figura 5.3.2.
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action.
| Linha de centro | Limite Inferior | Limite Superior |
|---|---|---|
| 19.6666667 | 6.362532 | 32.9708014 |
Tabela 2.5.10: Gráfico C Para o refugo (sem os pontos 6 e 20)
Figura 2.5.7: Carta de controle (sem os pontos 6 e 20)
Retirando as observações 6 e 20 podemos observar que os dados encontram-se dentro dos limites de controle.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
d) 5.4 - Gráfico u - taxa de defeitos por unidade
Frequentemente o número de unidades que compõem os subgrupos é variável. Nesses casos estamos interessados em controlar a taxa de defeitos por unidade e, o gráfico a ser utilizado será o Gráfico u.
O valor da variável u num subgrupo que contenha ni unidades amostrais onde sejam encontrados c defeitos, é dado por
$$u = \dfrac{c}{n_i}$$
Para os gráficos u os limites de controle são:
$$LSC = \overline{u} + 3\sqrt{\dfrac{\overline{u}}{n_i}}$$
$$LC = \overline{u}$$
$$LIC = \overline{u} - 3\sqrt{\dfrac{\overline{u}}{n_i}}$$
em que $ \overline{u} = \dfrac{(c_1 + c_2 + \ldots + c_k)}{(n_1 + n_2 + \ldots + n_k)}, $ sendo que $ c_1, c_2, \ldots, c_k $ representam os números de defeitos e $ n_1, n_2, \ldots, n_k $ representam os tamanhos dos k subgrupos.
Apresentaremos no Exemplo 5.4.1 o procedimento de como calcular e interpretar um caso onde as amostras têm tamanhos diferentes.
Exemplo 5.4.1
Em uma empresa textil as roupas tingidas são inspecionadas para a ocorrência de defeitos por 50 metros quadrados. Os dados dos 10 lotes de inspeção estão na Tabela 2.5.11. Usaremos estes dados para ajustar uma carta de controle para as não-conformidades por unidades.
| Lote | Quantidade metros quadrados | Não-conformidades (c) | Unidades inspecionadas (n) | Não-conformidades por unidade (u=c/n) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 500 | 14 | 10 | 1,400 |
| 2 | 400 | 12 | 8 | 1,500 |
| 3 | 650 | 20 | 13 | 1,538 |
| 4 | 500 | 11 | 10 | 1,100 |
| 5 | 475 | 7 | 9,5 | 0,737 |
| 6 | 500 | 10 | 10 | 1,000 |
| 7 | 600 | 21 | 12 | 1,750 |
| 8 | 525 | 16 | 10,5 | 1,524 |
| 9 | 600 | 19 | 12 | 1,583 |
| 10 | 625 | 23 | 12,5 | 1,840 |
| TOTAL | 153 | 107,5 |
Tabela 2.5.11: Dados da inspeção.
$$\overline{u} = \dfrac{153}{107,5} = 1,42$$
Notamos que $ \overline{u} $ equivale a razão entre o total de não-conformidades em relação ao número total de inspeções por unidade. Os limites de controle serão calculados individualmente em relação ao tamanho da amostra (ver Tabela 2.5.12).
Os limites de controle para a amostra 1 (Lote 1), considerando tamanho da amostra ni = 10, são dados por
$$LSC = \overline{u} + 3\sqrt{\dfrac{\overline{u}}{n_i}} = 1,42 + 3\sqrt{\dfrac{1,42}{10}} = 2,55$$
$$LC = \overline{u} = 1,42$$
$$LIC = \overline{u} - 3\sqrt{\dfrac{\overline{u}}{n_i}} = 1,42 - 3\sqrt{\dfrac{1,42}{10}} = 0,2895$$
O cálculo dos limites de controle é análogo para as outras amostras.
| Lote i | ni | LSC | LIC |
|---|---|---|---|
| 1 | 10 | 2,550486621 | 0,289513379 |
| 2 | 8 | 2,683922466 | 0,156077534 |
| 3 | 13 | 2,411502357 | 0,428497643 |
| 4 | 10 | 2,550486621 | 0,289513379 |
| 5 | 9,5 | 2,5798548 | 0,2601452 |
| 6 | 10 | 2,550486621 | 0,289513379 |
| 7 | 12 | 2,451988372 | 0,388011628 |
| 8 | 10,5 | 2,523241976 | 0,316758024 |
| 9 | 12 | 2,451988372 | 0,388011628 |
| 10 | 12,5 | 2,431137973 | 0,408862027 |
Tabela 2.5.12: Limites de controle calculados para cada amostra.
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.
| Linha de centro | Limite Inferior | Limite Superior | Fração de Defeituosos |
|---|---|---|---|
| 1.4232558 | 0.2914739 | 2.5550377 | 1.4 |
| 1.4232558 | 0.1578852 | 2.6886264 | 1.5 |
| 1.4232558 | 0.4306174 | 2.4158942 | 1.5384615 |
| 1.4232558 | 0.2914739 | 2.5550377 | 1.1 |
| 1.4232558 | 0.2620721 | 2.5844395 | 0.7368421 |
| 1.4232558 | 0.2914739 | 2.5550377 | 1 |
| 1.4232558 | 0.390085 | 2.4564266 | 1.75 |
| 1.4232558 | 0.3187498 | 2.5277618 | 1.5238095 |
| 1.4232558 | 0.390085 | 2.4564266 | 1.5833333 |
| 1.4232558 | 0.4109593 | 2.4355523 | 1.84 |
Tabela 2.5.13: Gráfico de proporções para o refugo
Figura 2.5.8: Carta de controle para o exemplo.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
Exemplo 5.4.2
Consideremos na tabela a seguir o número de não-conformidades observadas em 26 amostras sucessivas de 100 circuitos impressos. Note que por comodidade limitou-se em 100 o número de não-conformidades possíveis, desta forma temos 26 amostras com 516 não-conformidades.
| Amostra | Não-conformidades |
|---|---|
| 1 | 21 |
| 2 | 24 |
| 3 | 16 |
| 4 | 12 |
| 5 | 15 |
| 6 | 5 |
| 7 | 28 |
| 8 | 20 |
| 9 | 31 |
| 10 | 25 |
| 11 | 20 |
| 12 | 24 |
| 13 | 16 |
| 14 | 19 |
| 15 | 10 |
| 16 | 17 |
| 17 | 13 |
| 18 | 22 |
| 19 | 18 |
| 20 | 39 |
| 21 | 30 |
| 22 | 24 |
| 23 | 16 |
| 24 | 19 |
| 25 | 17 |
| 26 | 15 |
| TOTAL | 516 |
Tabela 2.5.14: Dados dos circuitos impressos.
$$\overline{u} = \dfrac{516}{2600} = 0,1985$$
Podemos notar que $ \overline{u} $ equivale a razão entre o total de não-conformidades em relação ao número total de inspeções por unidade. Neste exemplo as 26 amostras têm tamanhos constantes e iguais a 100, ou seja, ni = 100 para todo i.
Com isso, os limites de controle são dados por
$$LSC = \overline{u} + 3\sqrt{\dfrac{\overline{u}}{n_i}} = 0,1985 + 3\sqrt{\dfrac{0,1985}{100}} = 0,33216$$
$$LC = \overline{u} = 0,1985$$
$$LIC = \overline{u} - 3\sqrt{\dfrac{\overline{u}}{n_i}} = 0,1985 - 3\sqrt{\dfrac{0,1985}{100}} = 0,0648$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.
| Linha de centro | Limite Inferior | Limite Superior | Fração de Defeituosos |
|---|---|---|---|
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.21 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.24 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.16 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.12 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.15 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.05 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.28 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.2 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.31 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.25 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.2 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.24 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.16 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.19 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.1 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.17 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.13 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.22 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.18 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.39 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.3 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.24 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.16 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.19 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.17 |
| 0.1984615 | 0.0648145 | 0.3321086 | 0.15 |
Tabela 2.5.15: Gráfico de proporções para o refugo
Figura 2.5.9: Carta de controle para o exemplo.
Podemos observar que foram detectados dois pontos a mais de 3 desvios padrão da linha central, indicando uma possível causa especial de variação.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.