2.6 Cartas de Controle para Pequenos Lotes
Para evitar custos desnecessários os fabricantes estão produzindo quantidades menores de modo mais frequente.
Para atingir as eficiências dos processos para pequenos lotes é essencial que os métodos de CEP possam verificar se o processo está verdadeiramente sob controle estatístico, ou seja, se ele é previsível e se pode detectar variações devido as causas especiais durante esses pequenos “lotes”.
Wheeler (1991) descreve quatro requisitos para um “Estado Ideal” da operação do processo que é essencial para a concorrência nessa área:
- O processo deve ser estável ao longo do tempo.
- O processo deve ser operado de forma estável e consistente.
- A meta do processo deve ser definida e mantida no nível adequado.
- Os limites naturais do processo devem estar dentro dos limites da especificação.
É possível criar cartas de controle efetivas mesmo com quantidades pequenas de dados. As cartas orientadas para pequenos lotes permitem que uma única carta seja usada para o controle de vários produtos. Existem inúmeras variações sobre esse tema. Entre as cartas para pequenos lotes mais descritivas, estão: a carta nominal (DNOM) e a carta padronizada $ \overline{X} $ e R.
a) 6.1 - Carta Nominal - DNOM
Quando há uma variação comum e constante entre os produtos podemos usar o DNOM. Essa abordagem se baseia na utilização de apenas uma carta para o controle dos produtos. Isso porque, os processos de produção para pequenos lotes de diferentes produtos podem se caracterizar facilmente em uma única carta pela marcação, na carta, das diferenças existentes entre a medição do produto e seu valor alvo.
Sua ideia consiste em codificar os dados obtidos, como desvios, a partir de um ponto de referência comum: a medida nominal N da especificação. A base para esse procedimento reside em que, sendo X a variável gerada na operação e N a sua respectiva medida nominal, uma constante, então esta codificação de dados somente afeta a média mas não a amplitude, nem a variância e nem o desvio-padrão.
Admitindo-se que o processo em estudo esteja sob o controle estatístico e que os diferentes tipos de produtos produzidos tenham iguais variâncias, se forem empregados os gráficos da média e da amplitude ($ \overline{X} $ e R), os limites de controle para o gráfico da amplitude, segundo o CEP convencional, são:
$$LIC_{R} < ~R < ~LSC_{R}$$
e como a codificação de dados anteriores não afeta a dispersão das medidas, temos
$$D_3\overline{R} < ~R < ~D_4\overline{R}$$
No gráfico da média, como já visto anteriormente, os limites de controle do CEP convencional são
$$LIC_X < ~ \overline{X} < ~LSC_X$$
ou
$$\overline{\overline{X}} - A_2\overline{R} < ~\overline{X} < ~\overline{\overline{X}} + A_2\overline{R}$$
Subtraindo-se N de todos os termos da desigualdade anterior temos
$$\overline{\overline{X}} - N - A_2\overline{R} < ~\overline{X} - N < ~\overline{\overline{X}} - N + A_2\overline{R}$$ e, fazendo-se
$$y = X - N \tag{6.1.1}$$
segue que
$$\overline{y} = \overline{X} - N \tag{6.1.2}$$
ou ainda,
$$\overline{\overline{y}} = \overline{\overline{X}} - N$$
resultando em
$$\overline{\overline{y}} - A_2\overline{R} < ~\overline{y} < ~\overline{\overline{y}} + A_2\overline{R} \tag{6.1.3}$$
Assim, à medida que as amostras forem sendo coletadas, suas medidas individuais serão codificadas, conforme (equação 6.1.1), e os valores de $ \overline{y} $ e R serão marcados nos seus respectivos gráficos de controle.
As seguintes etapas devem ser executadas para a correta utilização desta técnica em gráficos de controle da média e da amplitude ($ \overline{X} $ e R):
- Determinar a medida nominal N do tipo do produto em produção, a partir da sua especificação de engenharia;
- Coletar amostras de tamanho n (n > 1) constante;
- Calcular a média $ \overline{X} $ e a amplitude R das amostras;
- Codificar as médias $ \overline{X}, $ subtraindo de cada uma delas a medida nominal N (equação 6.1.2);
- Repetir as etapas de 1 a 5, segundo a frequência de coleta de amostras pré-estabelecida, enquanto o mesmo produto estiver sendo produzido;
- Quando o equipamento for ajustado para a produção de outro tipo de produto a única mudança no procedimento será a determinação da nova medida nominal. Os valores da média codificada $ \overline{y} $ e da amplitude R do novo produto continuam sendo marcados no mesmo gráfico;
- Quando houver um número máximo e suficiente de amostras calcular os limites de controle por meio das fórmulas convencionais, porém empregando as médias codificadas.
Exemplo 6.1.1:
Na usinagem bruta de diâmetros externos (eixos) em torno mecânico foram retiradas 25 amostras, cada uma constituída de 3 peças, obtendo-se os valores da Tabela 2.6.1.
| Amostra | N | Peça | P1 | P2 | P3 | $ \overline{X} $ | R | $ \overline{X}- N $ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 220 | 1 | 219,7838 | 220,0287 | 220,0922 | 219,9682 | 0,308384 | -0,0318 |
| 2 | 220 | 1 | 219,9046 | 220,1229 | 220,2368 | 220,0881 | 0,332242 | 0,088082 |
| 3 | 220 | 1 | 219,8345 | 220,0862 | 219,9268 | 219,9492 | 0,251692 | -0,05079 |
| 4 | 220 | 1 | 219,7302 | 220,001 | 220,0357 | 219,9223 | 0,305502 | -0,07769 |
| 5 | 220 | 1 | 220,1644 | 220,3151 | 219,9806 | 220,1534 | 0,33448 | 0,153371 |
| 6 | 260 | 2 | 259,8635 | 260,1847 | 259,867 | 259,9718 | 0,321234 | -0,02825 |
| 7 | 260 | 2 | 259,7917 | 259,9042 | 259,908 | 259,868 | 0,116253 | -0,13203 |
| 8 | 260 | 2 | 259,8264 | 259,8535 | 259,6465 | 259,7755 | 0,20696 | -0,22452 |
| 9 | 260 | 2 | 259,6421 | 260,0869 | 259,9488 | 259,8926 | 0,444791 | -0,10744 |
| 10 | 260 | 2 | 259,8945 | 260,0154 | 260,3685 | 260,0928 | 0,474033 | 0,092769 |
| 11 | 320 | 3 | 319,7366 | 319,5236 | 319,7053 | 319,6552 | 0,213026 | -0,34481 |
| 12 | 320 | 3 | 319,8834 | 319,415 | 319,8163 | 319,7049 | 0,468446 | -0,29508 |
| 13 | 320 | 3 | 320,2431 | 320,1935 | 319,9893 | 320,142 | 0,253778 | 0,141982 |
| 14 | 320 | 3 | 319,9805 | 320,0828 | 320,0418 | 320,035 | 0,102364 | 0,035019 |
| 15 | 320 | 3 | 320,4944 | 320,4552 | 320,0477 | 320,3324 | 0,446676 | 0,332414 |
| 16 | 240 | 4 | 239,8076 | 239,7787 | 240,2064 | 239,9309 | 0,427712 | -0,06909 |
| 17 | 240 | 4 | 240,1663 | 240,1888 | 240,2023 | 240,1858 | 0,036012 | 0,185776 |
| 18 | 240 | 4 | 240,1662 | 240,1382 | 240,1141 | 240,1395 | 0,052086 | 0,139503 |
| 19 | 240 | 4 | 240,017 | 239,9212 | 240,0397 | 239,9926 | 0,118577 | -0,00737 |
| 20 | 240 | 4 | 240,2081 | 240,0484 | 239,9119 | 240,0562 | 0,296133 | 0,056153 |
| 21 | 300 | 5 | 300,0479 | 300,1325 | 299,9955 | 300,0587 | 0,137019 | 0,058656 |
| 22 | 300 | 5 | 300,2815 | 299,9451 | 300,0365 | 300,0877 | 0,336475 | 0,087714 |
| 23 | 300 | 5 | 299,7173 | 300,383 | 300,4608 | 300,187 | 0,743451 | 0,187028 |
| 24 | 300 | 5 | 300,0009 | 300,0487 | 300,0038 | 300,0178 | 0,047797 | 0,017781 |
| 25 | 300 | 5 | 299,5822 | 300,4351 | 299,7919 | 299,9364 | 0,852914 | -0,06362 |
| Total | 7,628039 | 0,143761 |
Tabela 2.6.1: Diâmetros externos (eixos) em torno mecânico.
Serão empregados os gráficos da média codificada $ \overline{y} $ e da amplitude R, portanto:
$$\overline{\overline{y}} = \dfrac{0,14}{25} = 0,00575 ~~~\hbox{e} ~~~\overline{R} = \dfrac{7,63}{25} = 0,305$$
Utilizando o Apêndice temos, para n = 3 (tamanho de cada amostra), D4 = 2,574; D3 = 0 e A2 = 1,023.
Dessa forma, os limites de controle para o gráfico da amplitude R são dados por:
$$LSC_R = D_4 \ast \overline{R} = 2,574 \ast 0,305 = 0,785$
$$LM_R = \overline{R} = 0,305$$
$$LIC_R = D_3 \ast \overline{R} = 0$$
Os limites de controle para a média codificada $ \overline{y}, $ ou seja, os limites de controle para o gráfico $ \overline{X} $ são dados por:
$$LSC_y = \overline{\overline{y}} + A_2\overline{R} = 0,00575 + 1,023 \ast 0,305 = 0,317$$
$$LM_y = \overline{y} = 0,006$$
$$LIC_y = \overline{\overline{y}} - A_2\overline{R} = 0,00575 - 1,023 \ast 0,305 = -0,3064$$
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.
| Limites - Xbar | |
|---|---|
| Limite Superior | 0.3178843 |
| Linha de centro | 0.0057507 |
| Limite Inferior | -0.306383 |
Tabela 2.6.2: Limites $\overline{X}$
| Limites - R | |
|---|---|
| Desvio Padrão | 0.1802679 |
| Limite Superior | 0.7853686 |
| Linha de centro | 0.305116 |
| Limite Inferior | 0 |
Tabela 2.6.3: Limites $R$
A Figura 2.6.1 apresenta estes gráficos de controle, com os pontos marcados. Percebe-se que há causas especiais atuando em algumas amostras, com relação à média codificada.
Figura 2.6.1: Gráficos $ \overline{X} $ e amplitude.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
b) 6.2 - Carta Padronizada Xbar e R
A abordagem DNOM assume uma variação comum e constante entre os produtos controlados por uma única carta. Quando existem diferenças substanciais nas variações desses produtos, o uso do desvio do alvo do processo torna-se problemático. Nesses casos os dados podem ser padronizados para compensar as diferentes médias do produto e a variabilidade. Essa classe de carta às vezes é chamada de carta Z ou Zed.
No caso da utilização dos gráficos de controle da média e da amplitude ($ \overline{X} $ e $ R $), admitindo-se que o processo está sobe controle e são conhecidas sua média e sua dispersão tem-se, para a amplitude, segundo o CEP convencional:
$$D_3\overline{R} < ~R < ~D_4\overline{R}$$
ou
$$(d_2 - 3d_3)\dfrac{\overline{R}}{d_2} < ~R < ~ (d_2 + 3d_3)\dfrac{\overline{R}}{d_2}$$
Como o termo $ \dfrac{\overline{R}}{d_2} $ é uma estimativa do desvio-padrão populacional σ, a expressão anterior pode ser reescrita na forma
$$(d_2 - 3d_3)\hat{\sigma} <~ R < ~ (d_2 + 3d_3)\hat{\sigma}$$
e, padronizando a expressão anterior, obtemos que
$$-3 < ~\dfrac{\dfrac{R}{\hat{\sigma}} - d_2}{d_3} < ~3 ~~~~~~~~~~(6.2.1)$$
Para o gráfico de controle da média, tem-se
$$\overline{\overline{x}} - A_2\overline{R} < ~\overline{x} < ~ \overline{\overline{x}} + A_2\overline{R}$$
em que $ \overline{\overline{x}}_p $ é a média ponderada das médias amostrais por tipo de peça, usando como pesos os seus respectivos tamanhos de amostras
$$\overline{\overline{x}}_p = \dfrac{n_1\overline{x}_{p1} + n_2\overline{x}_{p2} + \ldots + n_k\overline{x}_{pk}}{n_1 + n_2 + \ldots + n_k}$$
e como o tamanho da amostra pode ser variável, então
$$\overline{\overline{x}}_p - 3\dfrac{\overline{R}}{d_2\sqrt{n_i}} < ~\overline{x}_{pj} < ~ \overline{\overline{x}}_p + 3\dfrac{\overline{R}}{d_2\sqrt{n_i}}$$
em que i é o número de diferentes peças e j é o número de peças analisadas em cada amostra. Padronizando-se a expressão anterior temos
$$-3 < ~\dfrac{\sqrt{n_i}(\overline{x}_{pj} - \overline{\overline{x}})}{\hat{\sigma}} < ~3 \tag{6.2.2}$$
As etapas para a aplicação da metodologia, em gráficos de médias e da amplitude ($ \overline{X} $ e $ R $), são as seguintes:
- Traçar nos gráficos os limites de controle para as médias e para as amplitudes padronizadas: -3 e 3, em ambos os casos;
- Determinar as estimativas da média e do desvio-padrão populacionais, $ \overline{\overline{X}} $ e $ \hat{\sigma} $ a serem empregadas na padronização das medidas do produto em produção;
- Coletar amostras de tamanho qualquer (n > 1), de acordo com a frequência pré-estabelecida;
- Calcular a média $ \overline{x} $ e amplitude $ R $ dos valores;
- Para cada amostra, padronizar a sua média (equação 6.2.2) e a sua amplitude (equação 6.2.1);
- Marcar os pontos nos respectivos gráficos de controle;
- Quando um novo tipo de produto entrar em produção, devem-se obter novas estimativas para a média e o desvio-padrão populacionais.
Exemplo 6.2.1:
Consideremos os mesmos valores da tabela do Exemplo 6.1.1. Admitimos $ \overline{x} $ e $ \sigma $ como sendo as estimativas para a média e para o desvio-padrão populacionais, respectivamente.
Para o tipo de peça 1 temos:
$$\overline{\overline{x}}_p = \dfrac{3 \ast (219,9682+220,0881+219,9492+219,9223+220,1534)}{5 \ast 3} = 220,016$$
$$\overline{R} = \dfrac{0,308384+0,332242+0,251692+0,305502+0,33448}{5} = 0,306$$
$$\hat{\sigma}_p = \dfrac{0,306}{1,693} = 0,181$$
em que d2 = 1,693 (para n = 3), tabelado no Apêndice.
Para os outros tipos de peça o cálculo é análogo e os valores encontram-se na tabela abaixo.
| Tipo de Peça (p) | $ \overline{\overline{x}}_p $ | $ \overline{R} $ | $ \hat{\sigma}_p $ |
|---|---|---|---|
| 1 | 220,016 | 0,306 | 0,181 |
| 2 | 259,92 | 0,312 | 0,185 |
| 3 | 319,974 | 0,297 | 0,175 |
| 4 | 240,061 | 0,186 | 0,11 |
| 5 | 300,057 | 0,423 | 0,25 |
Tabela 2.6.4: Médias e desvios-padrão por tipo de peça.
Vamos obter agora os valores codificados:
Tipo de peça 1
- Média padronizada:
Amostra 1
$$\dfrac{\sqrt{n_1}(\overline{x}_{p1} - \overline{\overline{x}}_p)}{\hat{\sigma}} = \dfrac{\sqrt{3} \ast (219,9682 - 220,016)}{0,181} = -0,459$$
Amostra 2
$$\dfrac{\sqrt{n_1}(\overline{x}_{p2} - \overline{\overline{x}}_p)}{\hat{\sigma}} = \dfrac{\sqrt{3} \ast (220,0881 - 220,016)}{0,181} = 0,687$$
Amostra 3
$$\dfrac{\sqrt{n_1}(\overline{x}_{p3} - \overline{\overline{x}}_p)}{\hat{\sigma}} = \dfrac{\sqrt{3} \ast (219,9492 - 220,016)}{0,181} = -0,641$$
Amostra 4
$$\dfrac{\sqrt{n_1}(\overline{x}_{p4} - \overline{\overline{x}}_p)}{\hat{\sigma}} = \dfrac{\sqrt{3} \ast (219,9223 - 220,016)}{0,181} = -0,898$$
Amostra 5
$$\dfrac{\sqrt{n_1}(\overline{x}_{p5} - \overline{\overline{x}}_p)}{\hat{\sigma}} = \dfrac{\sqrt{3} \ast (220,1534 - 220,016)}{0,181} = 1,312$$
- Amplitude padronizada:
Amostra 1
$$\dfrac{\dfrac{R}{\hat{\sigma}} - d_2}{d_3} = \dfrac{\dfrac{0,308384}{0,181} - 1,693}{0,888} = 0,0120$$
Amostra 2
$$\dfrac{\dfrac{R}{\hat{\sigma}} - d_2}{d_3} = \dfrac{\dfrac{0,332242}{0,181} - 1,693}{0,888} = 0,160$$
Amostra 3
$$\dfrac{\dfrac{R}{\hat{\sigma}} - d_2}{d_3} = \dfrac{\dfrac{0,251692}{0,181} - 1,693}{0,888} = -0,341$$
Amostra 4
$$\dfrac{\dfrac{R}{\hat{\sigma}} - d_2}{d_3} = \dfrac{\dfrac{0,305502}{0,181} - 1,693}{0,888} = -0,0059$$
Amostra 5
$$\dfrac{\dfrac{R}{\hat{\sigma}} - d_2}{d_3} = \dfrac{\dfrac{0,33448}{0,181} - 1,693}{0,888} = 0,174$$
Para os outros tipos de peça e outras amostras o cálculo é análogo.
A seguir temos os resultados obtidos pelo Software Action para esse exemplo.
| Peças | Médias Padronizadas | Amplitudes Padronizadas | Estimativa do desvio-padrão |
|---|---|---|---|
| 1 | 220.0162333 | 0.30646 | 0.1810619 |
| 2 | 259.9201133 | 0.31266 | 0.184725 |
| 3 | 319.9739 | 0.29684 | 0.1753783 |
| 4 | 240.0609933 | 0.1861 | 0.1099511 |
| 5 | 300.0575133 | 0.42352 | 0.250223 |
Tabela 2.6.5: Estimativas por peça
| Peças | Médias Padronizadas | Amplitudes Padronizadas | |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | -0.4591713 | 0.012066 |
| 2 | 1 | 0.6874814 | 0.1600916 |
| 3 | 1 | -0.6415643 | -0.3405833 |
| 4 | 1 | -0.8985727 | -0.0059708 |
| 5 | 1 | 1.3118268 | 0.1743965 |
| 6 | 2 | 0.4840084 | 0.0520618 |
| 7 | 2 | -0.4889467 | -1.1970557 |
| 8 | 2 | -1.3562613 | -0.6441277 |
| 9 | 2 | -0.2579753 | 0.8055558 |
| 10 | 2 | 1.6191748 | 0.9835658 |
| 11 | 3 | -3.1478377 | -0.5383473 |
| 12 | 3 | -2.656667 | 1.1016085 |
| 13 | 3 | 1.6598408 | -0.2763653 |
| 14 | 3 | 0.603758 | -1.249166 |
| 15 | 3 | 3.5409059 | 0.9622701 |
| 16 | 4 | -2.0493491 | 2.4744816 |
| 17 | 4 | 1.9660686 | -1.5373332 |
| 18 | 4 | 1.2367087 | -1.372436 |
| 19 | 4 | -1.0768692 | -0.6923632 |
| 20 | 4 | -0.0765592 | 1.1276508 |
| 21 | 5 | 0.0077527 | -1.2894802 |
| 22 | 5 | 0.2089529 | -0.3920826 |
| 23 | 5 | 0.896541 | 1.4400666 |
| 24 | 5 | -0.2748968 | -1.6909239 |
| 25 | 5 | -0.8383499 | 1.9324202 |
Tabela 2.6.6: Padronização por amostra
Figura 2.6.2: Gráficos da média padronizada e amplitude padronizada.
Observação:
Em alguns processos para pequenos lotes, o volume total da produção pode ser pequeno demais para que a formação de subgrupos seja utilizada efetivamente. Nesses casos as medições da formação de grupos podem funcionar ao contrário do conceito de controle do processo e podem reduzir a carta de controle a uma função de relatório de dados. Mas quando a formação de subgrupos é possível, as medições podem ser padronizadas para acomodar esse caso.
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
Cartas de controle para atributos padronizados
As amostras dos dados para atributos, incluindo aquelas de tamanho variável, podem ser padronizadas para que vários tipos de peças sejam marcadas em uma única carta. A estatística tem a forma:
$$Z_i = \dfrac{\hbox{Diferença da Média}}{\hbox{Desvio Padrão}}$$
Por exemplo, uma estatística u suficiente para a taxa de defeitos deve ser padronizada como:
$$Z_i = \dfrac{u_i - \overline{u}}{\sqrt{\overline{u}/n}}$$
Este método também se aplica às cartas np, p, c e u.