13.5 Estabilidade Acelerado - Arrhenius
Arrhenius
O objetivo principal das funções de estabilidade é determinar as taxas de reações químicas e físicas e sua relação com as condições de armazenamento, como temperatura, umidade e luz de um medicamento de tal forma que seja possível determinar o tempo de validade, ou seja, o intervalo de tempo que se espera que o medicamento permaneça dentro das especificações após a fabricação. Para isso, geralmente são realizados testes de estabilidade acelerado.
De acordo com a diretriz de estabilidade do FDA de 1987, um teste de estabilidade acelerado é um estudo de estabilidade de curto prazo conduzido sob condições exageradas ou estressadas (como temperatura alta, umidade de 75% ou mais, exposição a vários comprimentos de onda de radiação eletromagnética e armazenamento em um recipiente aberto) para aumentar a taxa de degradação química ou física de uma substância ou produto farmacêutico. Com esse tipo de estudo, é possível estimar os parâmetros cinéticos da taxa de reação e, assim, a vida útil prevista nas condições de armazenamento do mercado pode então ser obtida por extrapolação.
Existem alguns modelos para relacionar a taxa de reação de degradação e a temperatura correspondente e, assim, poder prever a vida útil do medicamento. Entre os modelos existentes, a equação de Arrhenius é a mais frequentemente empregada.
Se uma reação com duas entidades $A$ e $B$ é $A + B \rightarrow C$, a taxa de reação é dada por $$ \frac{dY(t)}{dt}= -K_{r_A+r_B}[A]^{r_A}[B]^{r_B},$$ em que a reação é dita ser da ordem $r_A+r_B$, onde $dY(t)/dt$ é um quociente diferencial entre a concentração e o tempo, $Y(t)$ é a concentração da espécie em estudo no tempo $t$, $[A]$ e $[B]$ representam as concentrações de $A$ e $B$, e $K$ é uma constante de velocidade. Na indústria farmacêutica estamos interessados apenas nas ordens inteiras de uma reação (ou seja, 0, 1 e 2). Nos concentramos nas reações de ordem zero e de primeira ordem pois na indústria farmacêutica a reação de primeira ordem é provavelmente o modelo mais comumente empregado para descrever a decomposição e a degradação dos ingredientes ativos de um medicamento, a reação de ordem zero é usada ocasionalmente e a reação de segunda ordem raramente é adotada.
A equação diferencial para uma reação de ordem zero é dada por
$$ \frac{dY(t)}{dt}= -K_0$$
onde $K_0$ é a taxa constante de ordem zero, que é expressa como unidade de concentração por unidade de tempo. Integrando ambos os lados da equação em relação ao tempo, obtemos $$Y(t) = C_0 - K_0t$$ em que $C_0$ é uma constante. Seja $Y(0)$ a concentração inicial no tempo 0, podemos reescrever a equação acima, considerando $C_0 = Y(0)$, da seguinte forma $$Y(t) - Y(0) = - K_0t.$$
Ou seja, baseado na reação de ordem zero, um medicamento se degrada a uma taxa constante ao longo do tempo que é independente de ambas as concentrações no tempo inicial e no tempo $t$.
Porém, a reação mais empregada na prática é a reação de primeira ordem e, considerando que a quantidade de degradação é proporcional à concentração no tempo $t$, a equação diferencial correspondente a reação de primeira ordem é dada por $$ \frac{dY(t)}{dt}= -K_1Y(t)$$ em que $K_1$ é a taxa constante de primeira ordem. Similarmente ao caso anterior, integrando ambos os lados, resultamos em $$\ln [Y(t)] = C_1 - K_1t$$ em que $\ln$ denota o logaritmo natural e $C_1$ é uma constante. Reescrevendo a equação com a concentração inicial $Y(0)$, pode-se mostrar que $$\ln \left[\frac{Y(t)}{Y(0)} \right]= - K_1t.$$ Assim, vemos que a degradação de um medicamento descrito por uma reação de primeira ordem pode ser caracterizada por uma constante de taxa para o logaritmo das concentrações.
Em situações de testes de estabilidade térmica acelerada, as amostras de medicamentos são geralmente armazenadas ao longo do tempo em diferentes temperaturas. Estudaremos aqui um métodos para determinar a concentração de uma amostra que foi armazenada ao longo do tempo $t$ (geralmente expresso em dias ou meses) à temperatura $T$. A temperatura absoluta é usada para o estudo da relação entre a constante de velocidade e a temperatura. Para talo, cada amostra armazenada a uma temperatura elevada ao longo do tempo $t$ é analisada lado a lado com uma amostra armazenada pelo mesmo período de tempo, mas a uma temperatura mais baixa na qual nenhuma degradação apreciável pode ocorrer. Então, a concentração da amostra armazenada na temperatura elevada é expressa como uma porcentagem da amostra na temperatura mais baixa.
Uma vez que a concentração inicial no tempo 0 é 100% da reivindicação do rótulo sem erro, ou seja, $Y (0) = 100$, as equações para as reações de ordem zero e de primeira ordem tornam-se, respectivamente,
$$ Y(t) = 100 -K_0t \tag{3.1} $$
e
$$ \ln [Y(t)] = \ln [100] -K_1t. \tag{3.2} $$
No estágio inicial de desenvolvimento do medicamento, é necessário projetar a taxa de degradação na temperatura de armazenamento padrão com base nos dados coletados de testes acelerados de estabilidade térmica em temperaturas elevadas. Para isso, primeiro precisamos estabelecer a relação entre a constante de taxa e a temperatura. A relação entre a constante de taxa (ou taxa de reação) e a temperatura absoluta pode ser expressa pela equação de Arrhenius.
Equação de Arrhenius
A equação de Arrhenius é uma relação funcional e, de acordo com ela, a relação entre a taxa de reação e a temperatura absoluta pode ser descrita segundo a expressão $$\frac{d \ln[K]}{dT} = \frac{E}{RT^2}$$ em que
- $K$ é a taxa constante;
- $E$ é a energia de ativação, normalmente em elétrons-volts;
- $R$ é a constante de Boltzmann e
- $T$ é a temperatura absoluta Kelvin.
A temperatura é usualmente medida em graus Celsius e, assim, é necessário convertê-la para graus Kelvin através da seguinte expressão $$\text{ºKelvin} = \text{ºC}+ 273,15 $$ em que ºKelvin é a temperatura em graus Kelvin e ºC é a temperatura em graus Celsius.
Integrando ambos os lados da equação de Arrhenius e isolando $K$, obtemos que
$$ K = A\exp\left(-\dfrac{E}{R \times T}\right) \tag{3.3} $$
em que $A$ é um fator de frequência.
Substituindo a Equação 3.3 em 3.1 e 3.2, obtemos
$$ \frac{Y(t) - 100}{t} = -A\exp\left(-\dfrac{E}{R \times T}\right) \tag{3.4} $$
e
$$\frac{\ln [Y(t)/100]}{t} = -A\exp\left(-\dfrac{E}{R \times T}\right). \tag{3.5}$$
Nas duas equações acima, as quantidades no lado esquerdo são a degradação por unidade de tempo com base na escala original da concentração para a reação de ordem zero ou na escala logarítmica da concentração para a reação de primeira ordem e podem ser interpretados como as taxas de reação observadas que podem ser usadas para a estimativa dos parâmetros desconhecidos $A$ e $-E / R$ na Equação 3.3. Porém, é preferível usar o negativo das taxas de reação observada (dadas em 3.4 e 3.5) para o propósito de estimar os parâmetros $A$ e $-E / R$.
Considere $Y_{i j}$ a concentração de uma amostra armazenada após o tempo $t_j$ à temperatura $T_i$, onde $i = 1, 2,. . ., I$ e $j = 1,. . ., J$ e todos os $Y_{i j}$ são expressos em termos de porcentagem. Defina a degradação para as reações de ordem zero e de primeira ordem, respectivamente, como $$D_{ij}(0) = Y_{ij} - 100$$ e $$D_{ij}(1) = \ln[Y_{ij}/100].$$
As taxas de reação negativa ou as taxas de degradação negativas por unidade de tempo são dadas, respectivamente, por $$K_{ij}(0) = -\frac{D_{ij}(0)}{t_j} = -\frac{100 - Y_{ij}}{t_j}$$ e $$K_{ij}(1) = -\frac{D_{ij}(1)}{t_j} = -\frac{\ln[100/Y_{ij}]}{t_j}$$ em que $i = 1, 2, . . ., I$ e $j = 1, 2, . . ., J $.
A seguir, descreveremos o método de obtenção da estimativa de constantes de taxas e os parâmetros desconhecidos na equação de Arrhenius. Com base nas estimativas dos parâmetros desconhecidos e seus desvios-padrão estimados e covariância, um período de data de expiração experimental projetado pode ser obtido usando a relação dada nas Equações 3.4 e 3.5. A partir das Equações 3.1 e 3.2, a degradação no tempo $t_j$ pode ser expressa pelo seguinte modelo de regressão linear sem intercepto $$D_{ij}(h) = \beta_i(h)t_j + e_{ij}$$ em que $\beta_i(h) = -K_{hi}$, $h$ é a ordem da reação, $h=0,1$, $e_{ij}$ são os erros aleatórios e assumimos que $e_{ij}\sim N (0,\sigma_{i}^{2}(h))$. O modelo de regressão linear simples sem intercepto, dado acima, deve ser estimado por meio do método dos mínimos quadrados para a estimativa da constante de taxa para cada combinação de pontos de tempo e temperatura.
Com as constantes de taxa estimadas em cada temperatura, as estimativas dos parâmetros desconhecidos na Equação de Arrhenius 3.3 são encontradas ajustando um modelo de regressão linear (ou ponderada) ao logaritmo das constantes de taxa estimadas $\ln [b_i ( h)]$ com a temperatura como variável independente, em que $b_i$ é a estimativa de mínimos quadrados para $\beta_i$. Uma vez que o teste típico de estabilidade térmica acelerada é geralmente conduzido em três ou quatro temperaturas elevadas diferentes, a inferência estatística sobre os parâmetros desconhecidos na equação de Arrhenius é então baseada em apenas um ou dois graus de liberdade. Para superar esta desvantagem, pode-se considerar a utilização da taxa de degradação negativa observada por unidade de tempo ou taxas de reação negativas observadas $K_{ i j} (h)$, $h = 0, 1$, $i = 1,. . ., I$ e $j = 1,. . ., J$. Como resultado, todas as observações são usadas para estimar os dois parâmetros desconhecidos na equação de Arrhenius e, consequentemente, inferência estatística sobre o período de data de expiração provisório pode ser obtida com base em uma estimativa da variância do erro com $I$ $J - 2$ graus de liberdade.
Assim, para obter uma estimativa do período de validade, precisamos obter a taxa de reação média prevista na temperatura de armazenamento de comercialização para a ordem de reação $h$, em que consideramos $h=1$. Essa estimação pode ser feita considerando o seguinte modelo de regressão $$\ln(K(h))=\alpha(h)+\beta(h)X$$ em que
- $K(h)$: taxa constante de ordem $h$ estimada para temperatura;
- $h$: ordem de reação de degradação, sendo $h = 1$;
- $\alpha(h)$: fator constante;
- $\beta(h)$: parâmetro do modelo;
- $X$: inversa de temperatura absoluta Kelvin, ou seja, $X=1/T$.
Por fim, com a estimação do modelo acima realizada, pode-se verificar que a degradação prevista após o tempo $t$ na temperatura de armazenamento de comercialização $T$ é dada por $$\hat{D}(h) = -\exp[\widehat{\ln(K(h))}]t.$$
Exemplo
Com o intuito de exemplificar o teste de estabilidade acelerado, considere o conjunto de dados encontrado na Tabela 13.3.2, em que contém informações de temperatura, em graus Celsius, tempo em meses de exposição do medicamento àquela temperatura, teor de certa substância do medicamento e a degradação. O intuito é estimar a taxa de degradação em uma temperatura de 50ºC.
| Temperatura | Tempo | Lote 1 (Teor/Degradação) | Lote 2 (Teor/Degradação) | Lote 3 (Teor/Degradação) |
|---|---|---|---|---|
| 25 | 3 | 100,2 / 0,001998 | 100,2 / 0,001998 | 98,8 / -0,012073 |
| 25 | 6 | 98,8 / -0,012073 | 99 / -0,01005 | 98,2 / -0,018164 |
| 25 | 9 | 98,4 / -0,016129 | 98,2 / -0,018164 | 96,6 / -0,034591 |
| 25 | 12 | 97,3 / -0,027371 | 96,9 / -0,031491 | 96 / -0,040822 |
| 30 | 3 | 99,4 / -0,006018 | 99,4 / -0,006018 | 99 / -0,01005 |
| 30 | 6 | 98,2 / -0,018164 | 98,6 / -0,014099 | 98,4 / -0,016129 |
| 30 | 9 | 96,5 / -0,035627 | 96,9 / -0,031491 | 95,5 / -0,046044 |
| 30 | 12 | 95,9 / -0,041864 | 96,3 / -0,037702 | 95,1 / -0,050241 |
| 40 | 1 | 98,6 / -0,014099 | 98,8 / -0,012073 | 98,8 / -0,012073 |
| 40 | 2 | 99 / -0,01005 | 98,4 / -0,016129 | 97,4 / -0,026344 |
| 40 | 3 | 98,4 / -0,016129 | 96,3 / -0,037702 | 97,8 / -0,022246 |
| 40 | 6 | 96,3 / -0,037702 | 95,7 / -0,043952 | 95,3 / -0,04814 |
Tabela 13.3.2: Dados para o teste de estabilidade acelerado
Primeiro, devemos estimar a tendência $K_i$ de cada temperatura por meio da regressão linear com a variável dependente Tempo e a variável independente Degradação. A tendência estimada corresponde à estimativa do parâmetro de coeficiente angular no modelo.
Figura 13.3.1: Gráfico de Resposta X Tempo
Temperatura 25º
| Estimativa | Desvio Padrão | Estat. t | P-valor | |
|---|---|---|---|---|
| Tempo | -0,003621 | 0,000218 | -11.443 | 0 |
Tabela 13.3.3: Modelo de regressão para Temperatura 25ºC
Temperatura 30º
| Estimativa | Desvio Padrão | Estat. t | P-valor | |
|---|---|---|---|---|
| Tempo | -0,003621 | 0,000218 | -18.748 | 0 |
Tabela 13.3.4: Modelo de regressão para Temperatura 30ºC
Temperatura 40º
| Estimativa | Desvio Padrão | Estat. t | P-valor | |
|---|---|---|---|---|
| Tempo | -0,007669 | 0,000589 | -14.7 | 0 |
Tabela 13.3.5: Modelo de regressão para Temperatura 40ºC
A partir dessas taxas estimadas, ajustamos um novo modelo de regressão linear, ou seja, ajustamos um modelo de regressão linear com os seguintes dados:
| Temperatura | $\boldsymbol{\beta}$ | Temperatura (Kelvin) | Temperatura Inversa | ln(K) |
|---|---|---|---|---|
| 25 | -0,002571 | 298,15 | 0,003354 | -5,963647 |
| 30 | -0,003621 | 303,15 | 0,003299 | -5,621091 |
| 40 | -0,007669 | 313,15 | 0,003193 | -4,870624 |
Tabela 13.3.6: Novo modelo de regressão linear
Ajustando o modelo de regressão linear com os $\beta$s e os valores de $\ln(K)$, obtemos a seguinte estimativa:
| Estimativa | Desvio Padrão | P-valor | |
|---|---|---|---|
| Intercepto | 16,982618 | 0,772592 | 0,028942 |
| Temperatura Inversa | -6845,696541 | 235,35261 | 0,021878 |
Tabela 13.3.7: Modelo com os $\beta$s e os valores de $\ln(K)$
Assim, o modelo ajustado é dado por $$\ln(K(h)) = 16,982618 - 6845,696541 X$$ em que $X=1/T$ e $T$ é a temperatura Kelvin.
Queremos, nesse exemplo, estimar a taxa de degradação para a temperatura de 50ºC. Assim, calculamos o inverso da temperatura Kelvin e aplicamos esse valor no modelo ajustado, isto é, $$ \frac{1}{T} = \frac{1}{50+273,15} = \frac{1}{323,15} = 0,003095$$ e então $$\widehat{\ln(K)} = 16,982618 - 6845,696541\ast 0,003095 = -4,201651$$
Assim $$\hat{K}=\exp( -4,201651) = -0,014971.$$
Portanto, a taxa de degradação ajustada para a temperatura de 50ºC é dada por -0,014971, isto é, estima-se que o medicamento perde aproximadamente 1,5% de teor da substância analisada por mês, se exposto à temperatura de 50ºC.